Das Verklebungslemma (englisch glueing lemma bzw. gluing lemma oder pasting lemma) ist ein elementarer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie.In dem Lehrbuch von Camps/Kühling/Rosenberger (S. 57 und 519) ist im Zusammenhang mit diesem Lehrsatz auch die Rede von ein[em] Fortsetzungssatz. Es zeigt, wie unter gewissen Bedingungen stetige Abbildungen auf topologischer Räumen aus solchen auf Unterräumen stückweise zusammengefügt und damit gewissermaßen „zusammengeklebt“ werden können.Fred H. Croom: Principles of Topology. 1989, S. 151I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. 1976, S. 51
Formulierung des Lemmas Es lässt sich zusammengefasst und in allgemeiner Darstellung formulieren wie folgt:Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 43Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 57In der Fachliteratur – so etwa bei Camps/Kühling/Rosenberger wie auch bei Croom und bei Singer/Thorpe – wird häufig allein der Fall von Überdeckungen mit zwei Teilmengen betrachtet. Gegeben seien zwei topologische Räume und . Weiter gegeben seien eine Überdeckung von und dazu eine Familie stetiger Abbildungen .Hier ist stets Stetigkeit in Bezug auf die induzierte Unterraumtopologie gemeint. Dabei möge gelten: (1) Für und sei stets . (2) Die seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von , wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie eine lokalendliche Überdeckung von darstelle. Dann gilt: Durch die Zuordnungsvorschrift
ist eine Abbildung
gegeben und diese ist stetig.
Folgerung Das Lemma schließt das folgende häufig benutzte Kriterium in sich ein:Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 27–28 Hat ein topologischer Raum eine offene Überdeckung oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung , so ist eine auf ihm gegebene Abbildung in einen weiteren topologischen Raum genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung stetig ist.
Zum Beweis Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge gültigen Gleichung
sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ist.
Siehe auch Finaltopologie
Literatur
Einzelnachweise und Fußnoten
Kategorie:Mengentheoretische Topologie Kategorie:Satz (Mathematik)