Als Primzahllücke bezeichnet man die Differenz bzw. den Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen: . Die kleinste Primzahllücke und einzig ungerade Primzahllücke ist die zwischen den Primzahlen 2 und 3: . Alle anderen Primzahllücken sind gerade, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz zwischen zwei anderen aufeinanderfolgenden Primzahlen, die selbst ungerade sind, immer gerade ist.
Bemerkung 1 Einige (wenige) Autoren bezeichnen mit Primzahllücke abweichend hiervon die Anzahl zusammengesetzter Zahlen zwischen zwei Primzahlen, d. h. eins weniger als nach der hier verwendeten Definition.Ich habe weder auf Papier noch im Internet solche Autoren gefunden, allerdings kann es nicht schaden, auf diesen möglichen Unterschied in der Definition hinzuweisen. Bemerkung 2 Früher nannte man diese Größe Primzahlabstand. Als Primzahllücke bezeichnete man besonders große Abstände benachbarter Primzahlen. Einen Primzahlabstand von 2 gibt es zwischen Primzahlzwillingen, zwischen denen sich eine gerade Zahl befindet.
Auftreten von Primzahllücken Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, kann es sie nur im Zusammenhang mit der Primzahl 2 geben und ist die zwischen 2 und 3. Abgesehen von dieser Lücke zwischen 2 und 3 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade. Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, bilden die Längen der Primzahllücken eine (unendliche) Folge mit den Anfangsgliedern:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2 … ().
Aus der Definition von folgt , wobei die 2 durch die kleinste Primzahl 2 entsteht.
Konstruktion beliebig großer Primzahllücken der Länge k
Für jede beliebige natürliche Zahl ist es trivial, die Existenz einer Primzahllücke mindestens der Länge nachzuweisen. Sei nämlich eine natürliche Zahl, die zu keiner der Zahlen teilerfremd ist. Dann sind auch die Zahlen nicht teilerfremd zu und folglich keine Primzahlen. Die größte Primzahl vor dieser Folge ist also höchstens gleich , die kleinste nach dieser Folge hingegen mindestens , so dass die Länge dieser Primzahllücke mindestens ist.
Für das Konstruieren eines mit der geforderten Eigenschaft hat man verschiedene Möglichkeiten: Am einfachsten wählt man die Fakultät, also Ebenso gut kann man das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen von 1 bis wählen, Den kleinstmöglichen trivial konstruierbaren Kandidaten für findet man durch die Primfakultät, .Ist die kleinste Primzahl größer als , so gilt , d. h. man hat sogar automatisch eine Lücke der Länge gefunden.
Obwohl im letzten Fall so klein wie möglich gewählt wurde, ist dennoch die gefundene Lücke für k ≥ 4 nicht die erste Lücke der geforderten Länge. Insofern leisten alle diese Verfahren zwar gleichwertig den Nachweis, dass beliebig große Lücken existieren, sind aber nicht zur Suche der ersten Lücke brauchbar.
Beispiel für k = 6 Welche Lücken liefern die genannten Verfahren jeweils im Falle k = 6?
Die kleinste Lücke Die erste Lücke der Länge 6 tritt zwischen 23 und 29 auf.
Nutzung der Fakultät ▶ Die Lücke zwischen k! + 1 und k! + k + 1
Berechnung und Verifikation:6! beträgt 720 (Produkt von 1, 2, 3, 4, 5 und 6), wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 721 und 727. Da 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720 + 2 = 722. Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720 + 3 = 723. Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724. Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725. Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726. Man hat also eine Primzahllücke mindestens der Länge 6 zwischen den Primzahlkandidaten 721 und 727 gefunden. Da zusätzlich auch 721 = 7 · 103 keine Primzahl ist, ist die Lücke sogar noch größer. In der Tat wird sie eingerahmt von den Primzahlen 719 und 727 und hat folglich die Länge 8.
Nutzung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ▶ Die Lücke zwischen kgV(1, ..., k) + 1 und kgV(1, ..., k) + k + 1
Berechnung und Verifikation:kgV(1, ..., 6) beträgt 60 (60 ist die kleinste Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist). Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 61 und 67. Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62. Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63. Da 60 durch 4 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64. Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65. Da 60 durch 6 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66. Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 61 und 67 gefunden. Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.
Nutzung der Primfakultät ▶ Die Lücke zwischen k# + 1 und k# + k + 1
Berechnung und Verifikation:6# berechnet sich zu 2 · 3 · 5 = 30. Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 31 und 37. Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32. Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33. Da 30 und 4 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 4 = 34. Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35. Da 30 und 6 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 6 = 36. Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 31 und 37 gefunden. Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.
Wachstum der Funktionen Schon das ausgeführte Beispiel zeigt, dass die Fakultät die bei weitem am raschesten wachsende unter den betrachteten Funktionen ist. Für ist der Größenunterschied zwischen , und noch deutlicher. Dagegen tritt bereits zwischen 113 und 127 eine Lücke der Länge 14 auf, so dass also selbst die Konstruktion durch zwar Lücken der Mindestlänge k findet, solch eine Lücke aber schon bei weitaus kleineren Zahlen auftritt.
Für z. B. k = 72 kann man sehen, das alle drei Verfahren sehr ineffizient sind und es wesentlich kleinere Primzahlen gibt, zwischen denen es k−1 zusammengesetzte Zahlen gibt: Die erste Lücke dieser Größe befindet sich zwischen 31.397 und 31.469.Das ist die kleinste Lösung. Die Konstruktion mittels Primfakultät liefert557.940.830.126.698.960.967.415.391 und 557.940.830.126.698.960.967.415.363. Die Konstruktion mittels kleinstem gemeinsamen Vielfachen liefert5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201 und 5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.273. Die Konstruktion mittels Fakultät liefert61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.001 und 61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.073.
Dieses Beispiel (k = 72) ist in der folgenden Tabelle blau, das Beispiel aus dem vorherigen Absatz (k = 6) ist rot gefärbt.
Kenngrößen einer Primzahllücke
Merit einer Primzahllücke
Gibt an, um wie viel die Primzahllücke größer als der durchschnittliche Abstand zweier Primzahlen ist. Bekannte Maximalwerte liegen knapp unter .
Cramér–Shanks–Granville-Verhältnis einer Primzahllücke
Bestimmt wird diese Größe für Primzahlen pn ≥ 23.
Größter bekannter Wert für dieses Verhältnis ist 0,9206385885... für die Primzahl 1693182318746371.
# gn Verhältnis pn 1 6 0,61029... 23 2 14 0,62644... 113 3 34 0,65756... 1327 4 72 0,67154... 31397 5 112 0,68125... 370261 6 148 0,70256... 2010733 7 210 0,73946... 20831323 8 456 0,79534... 25056082087 9 652 0,79753... 2614941710599 10 766 0,81776... 19581334192423 11 906 0,83112... 218209405436543 12 1132 0,92063... 1693182318746371
Tabellen von Primzahllücken
Formelzeichen: pn: n. Primzahl gn: Abstand zwischen n. und (n+1). Primzahl k: max. Primzahlabstand
Jeweils größten Primzahllücken bis k = 100 Abstand Primzahl Konstruktion mittels (✔=kleinste) untere obere Primfakultät Kleinstes gemeinsames Vielfaches Fakultät 1 2 3 ✔ 2 ✔ 2 ✔ 2 2 3 5 ✔ 3 ✔ 3 ✔ 3 4 7 11 ✔ 7 13 25 6 23 29 31 61 721 8 89 97 211 841 40.321 14 113 127 30.031 360.361 87.178.291.201 18 523 541 510.511 12.252.241 6.402.373.705.728.001 20 887 907 9.699.691 232.792.561 ≈ 2,4329 · 1018 22 1129 1151 9.699.691 232.792.561 ≈ 1,1240 · 1021 34 1327 1361 200.560.490.131 144.403.552.893.601 ≈ 2,9523 · 1038 36 9551 9587 200.560.490.131 144.403.552.893.601 ≈ 3,7199 · 1041 44 15683 15727 13.082.761.331.670.031 9.419.588.158.802.421.601 ≈ 2,6583 · 1054 52 19609 19661 614.889.782.588.491.411 3.099.044.504.245.996.706.401 ≈ 8,0658 · 1067 72 31397 31469 557.940.830.126.698.960.967.415.391 5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201 ≈ 6,1234 · 10103 86 155921 156007 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.791 8.076.030.954.443.701.744.994.070.304.101.969.601 ≈ 2,4227 · 10130 96 360653 360749 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.311 718.766.754.945.489.455.304.472.257.065.075.294.401 ≈ 9,9168 · 10149 Quelle: selbst ausgerechnet
Jeweils größten Primzahllücken bis k = 674 Abstand Primzahl Konstruktionmittels untere obere 1 2 3 2 2 3 5 3 4 7 11 25 6 23 29 721 8 89 97 40.321 14 113 127 8,7178 · 1010 18 523 541 6,4024 · 1015 20 887 907 2,4329 · 1018 22 1129 1151 1,1240 · 1021 34 1327 1361 2,9523 · 1038 36 9551 9587 3,.7199 · 1041 44 15683 15727 2,6583 · 1054 52 19609 19661 8,0658 · 1067 72 31397 31469 6,1234 · 10103 86 155921 156007 2,4227 · 10130 96 360653 360749 9,9168 · 10149 112 370261 370373 1,9745 · 10182 114 492113 492227 2,5436 · 10186 118 1349533 1349651 4,6845 · 10194 132 1357201 1357333 1,1182 · 10224 148 2010733 2010881 2,5563 · 10258 154 4652353 4652507 3,0898 · 10271 180 17051707 17051887 2,0090 · 10329 210 20831323 20831533 1,0582 · 10398 220 47326693 47326913 2,2839 · 10421 222 122164747 122164969 1,1205 · 10426 234 189695659 189695893 2,2670 · 10454 248 191912783 191913031 5,1933 · 10487 250 387096133 387096383 3,2329 · 10492 282 436273009 436273291 1,3291 · 10570 288 1294268491 1294268779 7,1968 · 10584 292 1453168141 1453168433 5,1252 · 10594 320 2300942549 2300942869 2,1161 · 10664 336 3842610773 3842611109 3,8852 · 10704 354 4302407359 4302407713 1,9081 · 10750 382 10726904659 10726905041 1,3738 · 10822 384 20678048297 20678048681 2,0205 · 10827 394 22367084959 22367085353 1,6234 · 10853 456 25056082087 25056082543 1,.5078 · 101016 464 42652618343 42652618807 3,.0488 · 101037 468 127976334671 127976335139 1,4439 · 101048 474 182226896239 182226896713 1,5864 · 101064 486 241160624143 241160624629 2,4021 · 101096 490 297501075799 297501076289 1,3679 · 101107 500 303371455241 303371455741 1,2201 · 101134 514 304599508537 304599509051 9,1690 · 101171 516 416608695821 416608696337 2,4366 · 101177 532 461690510011 461690510543 7,9889 · 101220 534 614487453523 614487454057 2,2736 · 101226 540 738832927927 738832928467 5,4823 · 101242 582 1346294310749 1346294311331 588 1408695493609 1408695494197 602 1968188556461 1968188557063 652 2614941710599 2614941711251 674 7177162611713 7177162612387 4,1282 · 101615 Quelle: selbst ausgerechnet