Der Verbindbarkeitssatz von Menger ist ein mathematischer Lehrsatz über eine grundlegende Fragestellung der Theorie der metrisch konvexen Räume und als solcher angesiedelt im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Gebieten Topologie und Geometrie. Der Satz geht (ebenso wie das Konzept des metrisch konvexen Raums) auf eine Arbeit des österreichischen Mathematikers Karl Menger aus den Jahren 1928 zurück.Leonard M. Blumenthal: Theory and Applications of Distance Geometry. 1953, S. 32 ff, S. 41Kazimierz Goebel, W. A. Kirk: Topics in Metric Fixed Point Theory. 1990, S. 23–26Willi Rinow: Die innere Geometrie der metrischen Räume. 1961, S. 146 ff., S. 148
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich angeben wie folgt: Gegeben sei ein vollständiger metrischer und zugleich metrisch konvexer Raum . Dann gilt: Zwischen je zwei Raumpunkten eines beliebigen Abstands gibt es stets eine kürzeste Verbindung in dem Sinne, dass das zugehörige reelle Intervall eine isometrische Einbettung gestattet, welche die reelle Zahl auf und die reelle Zahl auf abbildet.
Verwandte Resultate Mit dem mengerschen Verbindbarkeitssatz verwandt ist ein anderer Satz, dem eine ähnliche Fragestellung zugrunde liegt und der auf Stefan Mazurkiewicz zurückgeht:J. van Mill: The Infinite-dimensional Topology of Function Spaces. 2002, S. 55 In einem topologischen Raum , der vollständig metrisierbar, zusammenhängend und lokal zusammenhängend ist, gibt es zu je zwei verschiedenen Raumpunkten stets eine offene Jordan-Kurve , welche mit verbindet.
Im Zusammenhang damit – und nicht weniger auch im Zusammenhang mit dem Verbindbarkeitssatz von Menger – ist ein weiterer Satz erwähnenswert, der unmittelbar folgt und von Ákos Császár in dessen Monographie General Topology als Satz von Mazurkiewicz-Moore-Menger () bezeichnet wird. Dieser Satz lautet:Ákos Császár: General Topology. 1978, S. 428Der Name "Moore" verweist auf Robert Lee Moore, der in einer Arbeit aus dem Jahr 1916 schon derartige Verbindbarkeitsfragen behandelt hat. Siehe hierzu auch die Monographie Allgemeine Topologie mit Anwendungen. von Lutz Führer (Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, S. 153 ff)! Ist ein vollständiger metrischer Raum sowohl zusammenhängend als auch lokal zusammenhängend, so ist er schon bogenweise zusammenhängend und lokal bogenweise zusammenhängend.
Anmerkungen zum Beweis des Satzes Karl Menger hat den Verbindbarkeitssatz unter Anwendung der Transfiniten Induktion hergeleitet. Im Jahre 1935 gab Nachman Aronszajn einen Beweis ohne Transfinite Induktion. Kazimierz Goebel und William A. KirkVgl. Artikel "William Arthur Kirk" (englischsprachige Wikipedia)! haben in ihrer 1990er Monographie Topics in Metric Fixed Point Theory gezeigt, dass man in Anlehnung an den Originalbeweis von Menger einen Beweis führen kann, der anstelle der Transfiniten Induktion einen Fixpunktsatz benutzt. Wie Goebel und Kirk darstellen, ist dieser Fixpunktsatz eine Verallgemeinerung des banachschen Fixpunktsatzes und geht auf eine Publikation von James Caristi aus dem Jahre 1976 zurück. Sie bezeichnen diese Verallgemeinerung als Satz von Caristi ().Goebel et al., op. cit., S. 9,13,24–25In der anglo-amerikanischen Fachliteratur wird der Satz auch Caristi fixed-point theorem genannt. Vgl. Artikel "Caristi fixed-point theorem" (englischsprachige Wikipedia)!
Der Satz von Caristi Der Satz besagt das Folgende:Goebel et al., op. cit., S. 13 Gegeben seien ein vollständiger metrischer Raum sowie eine unterhalbstetige und zudem nach unten beschränkte reellwertige Funktion . Hier sei eine beliebige Abbildung, welche die folgende Bedingung erfüllen möge:
Dann besitzt einen Fixpunkt.
Siehe auch Geodäte Geodätischer metrischer Raum Jordan-Kurve Peano-Räume
Literatur
Einzelnachweise und Fußnoten
Menger, Verbindbarkeitssatz von Menger, Verbindbarkeitssatz von