In der Mathematik ist die Cayley-Menger-Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung.
Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken, Tetraedern und höherdimensionalen Simplizes.
Definition Sei ein Simplex mit Ecken im -dimensionalen Raum .
Sei die symmetrische -Matrix, deren erste Zeile bzw. Spalte sind und deren Einträge für
sind. Dann ist die Cayley-Menger-Determinante des Simplexes definiert als Determinante von .
Volumenberechnung von Simplizes Allgemeine Formel Das Volumen des Simplexes berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch
Beispiele
Fläche eines Dreiecks mini|hochkant=1.3|Allgemeines Dreieck Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus
Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.
Volumen eines Tetraeders mini|Allgemeiner Tetraeder
Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus
Insbesondere gilt wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.
Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.
Charakterisierung euklidischer Räume Karl Menger verwandte die Cayley-Menger-Determinante, um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Räume unter den metrischen Räumen zu geben.K. Menger: Untersuchungen über allgemeine Metrik. Math. Ann. 100 (1928), no. 1, 75–163. Marcel Berger gab später eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung mittels der Cayley-Menger-Determinante.M. Berger: Une caractérisation purement métrique des variétés riemanniennes à courbure constante. E. B. Christoffel (Aachen/Monschau, 1979), S. 480–492, Birkhäuser, Basel-Boston, Mass., 1981.
Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley-Menger-Determinante beweisen, zum Beispiel der Satz von Stewart.D. Michelucci, S. Foufou: Using Cayley-Menger Determinants for Geometric Constraint Solving. ACM Symposium on Solid Modeling and Applications (2004) online (pdf)
Symmetrien Die Gruppe der linearen Abbildungen des , welche die Cayley-Menger-Determinante eines Tetraeders (als Funktion der 6 Kantenlängen) invariant lassen, hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl-Gruppe .Philip P. Boalch: Regge and Okamoto symmetries, Comm. Math. Phys. 276 (2007), no. 1, 117--130.
Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn-Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab.J. Roberts.: Classical 6j-symbols and the tetrahedron. Geom. & Top. 3 (1999)
Literatur A. Cayley: A theorem in the geometry of position. Cambridge Mathematical Journal, II:267–271 (1841). online L. Blumenthal: Theory and applications of distance geometry. Clarendon Press, Oxford (1953). Kapitel IV.40 M. Berger: Geometry I. Springer-Verlag, Berlin (1987). Kapitel 9.7
Weblinks Cayley-Menger Determinant (MathWorld) Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant (MathPages) Cayley-Menger-Determinante im Raum (Beweis der 3-dimensionalen Volumenformel)
Einzelnachweise
Kategorie:Raumgeometrie