In der Mathematik sind quaternionische Darstellungen ein Konzept der Darstellungstheorie, das unter anderem in der Spingeometrie Anwendung findet.
Definition Eine quaternionische Darstellung ist eine (komplexe) Darstellung einer Gruppe die einen -invarianten Homomorphismus besitzt, der antilinear ist und erfüllt. Der komplexe Vektorraum hat also eine durch die komplexe Zahl sowie und definierte Struktur eines quaternionischen Vektorraums. Eine quaternionische Darstellung definiert also einen Gruppenhomomorphismus .
Beispiel Drehungen des 3-dimensionalen Raumes können durch Quaternionen beschrieben werden. Das definiert eine quaternionische Darstellung
der Spingruppe .
Allgemein sind die Spinor-Darstellungen der Spingruppe quaternionische Darstellungen für und mit .
Charakterisierung quaternionischer Darstellungen
Eine schiefsymmetrische nicht-ausgeartete -invariante Bilinearform definiert eine quaternionische Struktur auf
Umgekehrt gibt es zu jeder quaternionischen Darstellung eine -invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform auf . Für irreduzible Darstellungen ist diese Bilinearform eindeutig bis auf Skalierung.
Eine irreduzible Darstellung ist genau eine der folgenden:
komplex: der Charakter ist nicht reellwertig und hat keine -invariante nicht-ausgeartete Bilinearform reell: eine reelle Darstellung; hat eine -invariante symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform quaternionisch: der Charakter ist reell, aber ist keine reelle Darstellung; hat eine -invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform.
Literatur Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8 ISBN 978-0-387-97527-6 Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90190-6
Weblinks Ganev: Real and quaternionic representations of finite groups
Kategorie:Darstellungstheorie von Gruppen