Der Fortsetzungssatz von Choquet ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Maßtheorie und dem Gebiet der Funktionalanalysis und der auf den Mathematiker Gustave Choquet zurückgeht. Er zeigt, dass für einen Hausdorff-Raum ein von innen reguläres lokal endliches Maß auf der zugehörigen borelschen σ-Algebra schon unzweideutig festgelegt ist durch die zugehörige reelle Mengenfunktion auf dem Mengensystem der kompakten Teilmengen, sofern diese Mengenfunktion für sich allein schon gewissen einfachen (und naheliegenden) Bedingungen genügt. Der choquetsche Fortsetzungssatz ist eng verknüpft mit dem Darstellungssatz von Riesz-Markov-Kakutani und seine Bedeutung liegt nicht zuletzt darin, dass der Darstellungssatz auf ihn zurückgeführt werden kann.Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. 1987, S. 205 ffJürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 328 ffDirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 89–90
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:Behrends, op. cit., S. 206–207Elstrodt, op. cit., S. 331–332
Gegeben sei ein Hausdorff-Raum , versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Mengensystem der kompakten Teilmengen von . Weiter gegeben sei eine Mengenfunktion , welche den folgenden Bedingungen genügen möge: (R_1) Für mit gilt stets . (R_2) Für gilt stets . (R_3) Für mit gilt stets . (R_4) Zu und gibt es stets eine offene Umgebung von dergestalt, dass für alle mit gilt: .
Unter diesen Gegebenheiten kann auf genau eine Weise zu einem von innen regulären lokal endlichen Maß
fortgesetzt werden. Es ist also
und dabei hat man für alle .
Erläuterungen und Anmerkungen Ehrhard Behrends und Jürgen Elstrodt (und ebenso viele andere Autoren) bezeichnen die im choquetschen Fortsetzungssatz genannten Maße auf borelschen σ-Algebren von Hausdorff-Räumen als Radon-Maße.Behrends, op. cit., S. 196Elstrodt, op. cit., S. 313 Der Fortsetzungssatz beinhaltet also die Aussage, dass für einen Hausdorff-Raum die Radon-Maße und die auf dem System der kompakten Teilmengen definierten, den Bedingungen (R_1), (R_2), (R_3), (R_4) genügenden Mengenfunktionen einander umkehrbar eindeutig entsprechen. In seiner Darstellung des Fortsetzungssatzes zeigt Elstrodt – anschließend an die 1968er Arbeit On the generation of tight measures des polnischen Mathematikers Jan Kisyński – dass man an die Stelle der Bedingung (R_4) die sogenannte Straffheitsbedingung (S) setzen kann, welche folgendes besagt:Elstrodt, op. cit., S. 331 ff (S) Für mit gilt stets . Wie Elstrodt anmerkt, gibt es in der Fachliteratur verschiedene Varianten des Fortsetzungssatzes. Die hierzu entstandene rege Forschungstätigkeit hat gezeigt, dass die Straffheitsbedingung hinsichtlich der Fortsetzbarkeitsfrage von wesentlicher Bedeutung ist.
Quellen und Hintergrundliteratur
Einzelnachweise
Kategorie:Maßtheorie Kategorie:Funktionalanalysis Choquet, Fortsetzungssatz von