rahmenlos|rechts|hochkant=0.9|Quadratur des Polygons Die Quadratur des Polygons oder die Quadratur der geradlinigen Figur ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie. Sie besteht darin, mit den euklidischen Werkzeugen Zirkel und Lineal aus einem gegebenen konvexen oder konkaven Polygon ein Quadrat mit gleich großer Fläche zu zeichnen. Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das konvexe unregelmäßige Polygon. Die Quadratur des Rechtecks wird ausführlich in einem separaten Artikel beschrieben.
Ausgangssituation Johann Friedrich Lorenz beschreibt in seinem Buch Euklids Elemente, aus dem Jahr 1781, die Lösung dieser Quadratur in Einer gegebnen geradlinichen Figur, A, ein Quadrat gleich zu machen.
Für die Bearbeitung der Aufgabe werden folgende mathematische Sätze von Euklid herangezogen.
Umwandlung eines Dreiecks in ein Parallelogramm mit gleich großer Fläche. Umwandlung einer geradlinigen Figur in ein Parallelogramm mit gleich großer Fläche. Der Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck.
Methode Zur Verdeutlichung der Problematik bei der Quadratur von konvexen Polygonen mit mehr als vier Seiten wurde das unregelmäßige Fünfeck KLMNO gewählt.
Zuerst wird die Fläche des Polygons in Dreiecke zerlegt, das heißt, ausgehend von einer frei wählbaren Polygonecke, wie z. B. O, werden die Diagonalen gezogen. Es ergibt sich somit die kleinstmögliche Anzahl der Dreiecke; im Beispiel sind es die drei Dreiecke KLO (gelb), LMO (rot) und MNO (grün).
Weiter geht es mit dem Einzeichnen der Dreieckshöhen , und und deren Halbierung; man erhält so die Schnittpunkte S, T und U.
Als Nächstes wird die Diagonale (alternativ Diagonale ) als Strecke auf einer Geraden abgetragen.
Aus der Formel zur Bestimmung der Dreiecksfläche für das gelbe Dreieck , a entspricht darin der Diagonale und h der Strecke , kann die gelbe Rechteckfläche abgeleitet und als F = · konstruiert werden. Dementsprechend gilt dies auch für das rote Dreieck LMO und das rote Rechteck T1WVS1.
Etwas mehr Aufwand verlangt die Umwandlung des grünen Dreiecks MNO, denn dessen Grundlinie ist kürzer als die nun zu berücksichtigende Seitenlänge . Nach der ersten Umwandlung des grünen Dreiecks MNO in das rot-blaue Rechteck U1ZM1T1 folgt eine zweite Umwandlung in ein Rechteck mit der Seitenlänge .
Zunächst wird der Punkt U1 mit dem Punkt W verbunden und die Strecke etwas verlängert. Eine anschließend konstruierte Parallele zur Strecke ab dem Punkt Z ergibt den Schnittpunkt D.
Die darauffolgende Parallele zur Strecke ab dem Punkt D erzeugt das grüne Rechteck CDWT1 mit der gleich großen Fläche wie das grüne Dreieck MNO; siehe hierzu die Erläuterung in der nebenstehenden Animation Dreieck MNO umgewandelt in ein Rechteck mit gleich großer Fläche bei gegebener Rechteckseite . Für die Veranschaulichung der schrittweisen Umwandlung hat das grüne Dreieck MNO in der Animation eine andere Form.
Die Quadrierung des so zusammengesetzten Rechtecks CDEB beginnt mit der Verlängerung seiner Seite und einem Viertelkreis mit dem Radius um den Punkt E; damit ergibt sich der Schnittpunkt F.
Nach der Halbierung der Strecke im Punkt G, zieht man einen Thaleskreis um G und verlängert die Rechteckseite bis zum Thaleskreis; es ergibt sich somit der Schnittpunkt H. Die Strecke ist die erste Seite des gesuchten Quadrates, dessen Fläche gleich groß ist, wie die des gegebenen unregelmäßigen Fünfecks.
Weblinks Visuelles Wörterbuch der Mathematik
Einzelnachweise
Kategorie:Vierecksgeometrie Kategorie:Synthetische Geometrie