Punktprozess

Ein Punktprozess ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezieller stochastischer Prozess und eine Zufallsvariable mit Werten im Raum der Zählmaße. Er ist ein Spezialfall eines zufälligen Maßes. Im Gegensatz zu den klassischen stochastischen Prozessen sind Punktprozess aber keine zeitindizierten Prozess, sondern mengenindizierte Prozesse , wobei die σ-Algebra ist.

Anschaulich modellieren Punktprozesse die zufällige Verteilung von Punkten, im einfachsten Fall auf den positiven reellen Zahlen, im oder in allgemeineren Mengen. Bekanntestes Beispiel eines Punktprozesses ist der Poisson-Prozess, der auch Poisson-Punkt-Prozess genannt wird.

Definition Sei ein messbarer Raum. Wir betrachten einen Raum , dessen Elemente s-endliche Zählmaße auf dem Raum sind. Dann ist die Zufallsvariable , ein Punktprozess. Ein Punktprozess ist ein Spezialfall eines zufälligen Maßes.

Erläuterungen Es existieren drei Räume: ist der Raum, wo die Punkte des Punktprozesses liegen ist der Raum der s-endlichen Zählmaße auf ist der Grundraum des Wahrscheinlichkeitsraum.

Die Definition sagt, ein Punktprozess ist eine Zufallsvariable im Raum der s-endlichen Zählmaße auf . Das heißt für jedes ist ein Zählmaß auf .

Unter geeigneten Regularitätsbedingungen (insbesondere für einfache Punktprozesse) besitzt er fast sicher eine Darstellung der Form

besitzt, wobei die die zufälligen Punkte der Konfiguration darstellen.

Für jede messbare Menge gilt dann

also zählt die Anzahl der Punkte, die in liegen.

Simpler Punktprozess Ein Punktprozess wird simple oder einfach genannt, falls jeder Punkt fast sicher distinkt ist.

Moment-Maße Für einen Punktprozess lassen sich Maße für die Momente und Maße für die faktoriellen Momente definieren. Diese beschreiben jeweils erwartete Summen über -Tupel von Punkten, unterscheiden sich jedoch darin, dass bei Moment-Maßen auch wiederholte Punkte berücksichtigt werden, während faktorielle Momente-Maße nur Beiträge von paarweise verschiedenen Punkten enthalten und dadurch die reine Interaktionsstruktur des Punktprozesses erfassen.

n-tes Moment-Maß Das -te Moment-Maß für eine nicht-negative messbare Funktion ist definiert durch:

n-tes faktorielles Moment-Maß Sei das Diracmaß und betrachte des Maß

dann ist das -te faktorielle Moment-Maß auf der Borelsche σ-Algebra definiert als

für alle Borel-Mengen

Das heißt für eine nicht-negative messbare Funktion :

n-Punkt Korrelationsfunktion Falls das n-te faktorielle Moment-Maß absolut stetig bezüglich eines Referenz-Maßes (üblicherweise das Lebesgue-Maß) ist, so nennt man die Radon-Nikodým Dichte

für alle Borell-Mengen die n-Punkt-Korrelationsfunktion (auch multivariate Intensität). Das heißt, es gilt

Die n-Punkt-Korrelationsfunktion beschreibt die gemeinsame Dichte dafür, dass sich Punkte des Prozesses simultan in infinitesimalen Umgebungen der Punkte befinden.

Normierte Paar-Korrelationsfunktion Sei die Rado-Nikodým-Dichte eines n-ten faktoriellen Moment-Maß eines absolut-stetigen Punktprozesses. Dann lässt sich die normierte Paar-Korrelationfunktion oder normiert 2-Punkt Korrelationsfunktion wie folgt bilden

für zwei Punkte .

Definition auf den positiven Zahlen Eine Folge von Zufallsvariable heißt ein Punktprozess (auf ), wenn gilt: Es ist Die Folge ist fast sicher streng monoton wachsend, das heißt

Beispiele Ein einfaches Beispiel für einen Punktprozess erhält man, wenn man eine unabhängig identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen , die fast sicher echt positive Werte annehmen, betrachtet. Definiert man dann und ,

so ist die Folge der monoton wachsend, somit handelt es sich um einen Punktprozess.

Poisson-Punktprozess

Hawkes-Prozess Ein Hawkes-Prozess ist ein einfacher Punktprozess, der einen Punktprozess modelliert, bei dem das Auftreten eines Ereignisses, einen positiven Einfluss (d. h. erhöhen) auf die Intensität für zukünftige Ereignisse hat.

Die bedingte Intensität folgende Form hat

wobei ein Integralkern ist, der den positiven Einfluss vergangener Ereignisse auf die jetzige Intensität modelliert. Dabei ist entweder der zu erwartende, vorhersagbare, oder deterministische Teil der Intensität. sind Stoppzeiten des i-ten Ereignisses.

Determinantale Punktprozesse

Eigenschaften Campbellsche Formel Die Campbellsche Formel beschreibt eine wichtige Eigenschaft eines Punktprozesses zu seiner Intensität . Für alle -integrierbaren Funktionen gilt

Echte Punktprozesse Man unterscheidet zwischen echten und unechten Punktprozessen. Ein Punktprozess wird dann echt genannt, wenn ein Zufallsvariable mit Werten in und Zufallsvariablen existieren, so dass fast sicher gilt

Es lässt sich zeigen, dass es für jeden Poisson Punktprozesse einen echten Punktprozess gibt, der die gleiche Verteilung auf demselben Raum besitzt.

Erläuterung Ein Punktprozess auf modelliert die zufällige Verteilung von Punkten auf den positiven Zahlen. Dabei besagt der erste Teil der Definition, dass der erste Punkt der Nullpunkt sein soll. Der zweite Teil besagt, dass die Punkte mit einer Ordnung versehen sind, also schon der Größe nach sortiert sind.

Im obigen Beispiel werden die Zufallsvariablen über über ihre Zuwächse definiert. Dabei entsprechen die Verteilungen der Zuwächse, hier im Beispiel , im allgemeinen Fall , der Verteilung des Abstandes der Punkte. So sind beispielsweise beim Poisson-Prozess die Abstände zwischen zwei Punkten exponentialverteilt.

Der zugehörige Zählprozess Jedem Punktprozess auf lässt sich durch

ein Zählprozess zuordnen ( bezeichnet hier die charakteristische Funktion auf der Menge ). Anschaulich läuft der Zählprozess von Nullpunkt aus mit gleichbleibender Geschwindigkeit die positiven Zahlen ab und zählt, wie viele Punkt er bis zum Zeitpunkt schon angetroffen hat. Zählprozess und Punktprozess beleuchten hier zwei Aspekte derselben Idee. In ihrer Formalisierung unterscheiden sie sich jedoch deutlich, wie sich schon an ihrer Indexmenge zeigt.

Weblinks

Literatur

Kategorie:Stochastischer Prozess