Binormaler Raum ist ein Terminus aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Der Terminus hat unter anderem Bedeutung für Homotopieuntersuchungen im endlich-dimensionalen reellen Koordinatenraum.
Definition Ein topologischer Raum heißt binormal, wenn er ein normaler Hausdorffraum ist und zugleich abzählbar parakompakt in dem Sinne, dass jede höchstens abzählbare offene Überdeckung eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 155Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 184
Beispiel Ein metrischer Raum ist nach dem Satz von Arthur Harold Stone stets parakompakt, folglich auch abzählbar parakompakt und darüber hinaus auch stets normal.Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 90, 98Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 147 Daher ist jeder metrische Raum binormal.
Charakterisierungssatz Es gilt der folgende Charakterisierungssatz, der im Wesentlichen auf eine Arbeit des kanadischen Mathematikers Clifford Hugh Dowker aus dem Jahre 1951 zurückgeht:Clifford Hugh Dowker: On countably paracompact spaces. In: Canadian J. Math. 3, S. 219–224Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 157Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 185Paul J. Szeptycki: Small Dowker spaces. In: Elliott Pearl (Hrsg.): Open Problems in Topology II., S. 233–239 (sciencedirect.com) Für einen Hausdorffraum sind die folgenden Bedingungen gleichwertig: (1) ist binormal. (2) Ist ein beliebiger kompakter metrischer Raum, so ist der zugehörige Produktraum stets ein normaler Raum . (3) Es existiert zumindest ein unendlicher kompakter metrischer Raum , für den der zugehörige Produktraum ein normaler Raum ist. (4) Der mit dem abgeschlossenen Einheitsintervall gebildete Produktraum ist ein normaler Raum. (5) Der aus und dem Hilbertwürfel gebildete Produktraum ist ein normaler Raum. (6) Zu je zwei halbstetigen reellwertigen Funktionen derart, dass oberhalbstetig und unterhalbstetig ist und dass stets die Ungleichung gilt, existiert eine stetige Funktion , welche stets die Beziehung erfüllt.
Homotopie-Fortsetzungssatz Im Zusammenhang mit der Binormalitätseigenschaft gilt der borsuksche Homotopie-Fortsetzungssatz, der auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Karol Borsuk aus dem Jahre 1937 zurückgeht.Karol Borsuk: Sur les prolongements des transformations continues. In: Fund. Math. 28, S. 203 Dieser lässt sich formulieren wie folgt:Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 199 Gegeben seien eine binormaler Raum und darin ein abgeschlossener Unterraum sowie zwei stetige Abbildungen von in die -Sphäre . Dabei seien und homotop und besitze eine stetige Fortsetzung . Dann gilt: Auch besitzt eine stetige Fortsetzung , welche zudem homotop zu ist.
Allerdings haben im Jahre 1975 Kiiti Morita und Michael Starbird unabhängig voneinander bewiesen, dass dieser auch dann noch Gültigkeit hat, wenn man die Binormalitätseigenschaft beiseite lässt, wenn man also lediglich als normalen Hausdorffraum voraussetzt.Kiiti Morita: On generalizations of Borsuk’s homotopy extension theorem. In: Fund. Math. 88, S. 1–6Michael Starbird: The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition. In: Fund. Math., 87, S. 207–211
Korollar Der borsuksche Homotopie-Fortsetzungssatz zieht in Verbindung mit der Tatsache, dass der reelle Koordinatenraum ein zusammenziehbarer Raum ist, das folgende interessante Korollar nach sich:Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 200 Sei eine abgeschlossene Teilmenge des reellen Koordinatenraums und sei weiter eine stetige Abbildung. Dann gilt: ist nullhomotop dann und nur dann, wenn eine stetige Fortsetzung besitzt.
Das dowkersche Problem Clifford Hugh Dowker warf in seiner Arbeit von 1951 folgende Frage auf:Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 158 Ist ein normaler Hausdorffraum immer auch ein abzählbar parakompakter Raum?
Anders gefragt: Ist jeder normale Hausdorffraum schon binormal?
Das zu dieser Frage gehörige Problem wird als dowkersches Problem () bezeichnet. Einen Hausdorffraum, der ein Gegenbeispiel dazu liefert, also ein normaler, nicht abzählbar parakompakter Hausdorffraum, wird ein Dowker-Raum () genannt. Die US-amerikanische Mathematikerin Mary Ellen Rudin hat im Jahre 1971 das dowkersche Problem insoweit gelöst, als sie im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) einen Dowker-Raum konstruieren konnte.Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 207–227Jun-iti Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 214
Literatur
Einzelnachweise und Fußnoten
Kategorie:Mengentheoretische Topologie