Der Satz von Hardy und Ramanujan aus der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl verschiedener Primfaktoren einer ganzen Zahl die normale Größenordnung hat. Der Satz wurde 1917 von Godfrey Harold Hardy und S. Ramanujan bewiesen.Hardy, Ramanujan: The normal number of prime factors of a number n. In: Quarterly Journal of Mathematics. Band 48, 1917, S. 76–92.
Eine arithmetische Funktion hat die normale Größenordnung , wenn für jedes gilt
für fast alle n, das heißt, der Anteil der , für die die Ungleichung nicht gilt, geht für gegen null.Hardy, Wright: An Introduction to number theory. Oxford University Press, 1975, S. 356. Übersetzung: Einführung in die Zahlentheorie. Oldenbourg, München 1958, S. 404.
Genauer gilt:
Die Anzahl der , für die
gilt, ist für jedes von der Ordnung (mit den Landau-Symbolen, das heißt der Anteil der , für die die Ungleichung gilt, verschwindet asymptotisch für ).
Der Beweis findet sich im Zahlentheorie-Lehrbuch von Hardy und Wright.Hardy, Wright: Einführung in die Zahlentheorie. Oldenbourg, München 1958, S. 405. Einen vereinfachten Beweis gab Pál Turán 1934.Pál Turán: On a theorem of Hardy and Ramanujan. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 9, 1934, S. 274–276. Turán erweiterte den Satz auf weitere stark additive, arithmetische Funktionen.
Hubert Delange bewies 1953,Delange, Compte Rend. Acad. Sci. Paris, Band 237, 1953, S. 543–544. Nach Halberstam: Über additive zahlentheoretische Funktionen. J. Reine Angewandte Mathematik, Band 195, 1955, S. 210, SUB Göttingen. dass im Wesentlichen eine gaußsche Normalverteilung besitzt, was auch Gegenstand des Satzes von Erdős-Kac ist.Erdös, Kac, Am. J. Math., Band 38, 1940, S. 738–742, und Alfred Renyi, Pal Turan: On a theorem of Erdös-Kac. Acta Arithmetica, Band 4, 1958, S. 71–84, Digitalisat.
Der Satz gilt auch für die Funktion , bei der die Primfaktoren mit ihrer Multiplizität summiert werden, d. h. ist die Anzahl der Faktoren der Primfaktorzerlegung von .
Einzelnachweise
Hardy und Ramanujan Kategorie:Srinivasa Ramanujan