Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.
Definition
Eine Bijektion
zwischen metrischen Räumen und ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante gibt, so dass
für alle gilt.
Beispiele Eine lineare Abbildung ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn gilt. ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch . Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S1, S2 einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent. Es gibt Quasi-Isometrien, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.D. Burago, B. Kleiner: Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps. Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. onlineT. Dymarz: Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups. Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. online Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische RäumeEin metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante gibt, so dass für alle die Ungleichung gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine Følner-Folgen gibt. quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.K. Whyte: Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture. Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. online
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Fraktale Geometrie Kategorie:Metrische Geometrie