Der Satz von Kato ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf den japanischen Mathematiker Tosio Kato zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft der stetigen linearen Abbildungen zwischen Banachräumen.Harro Heuser: Funktionalanalysis. 2006, S. 309–310
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich angeben wie folgt:Harro Heuser: Funktionalanalysis. 2006, S. 310 Gegeben seien zwei Banachräume und eine stetige lineare Abbildung . Der Bildraum besitze endliche Kodimension.
Dann gilt: ist ein abgeschlossener Unterraum von .
Verallgemeinerung Der Satz von Kato ist eine direkte Folgerung aus einem allgemeineren Satz, der lautet wie folgt: Gibt es unter den obigen Voraussetzungen einen abgeschlossenen Unterraum derart, dass einerseits und andererseits die direkte Summe ein abgeschlossener Unterraum von ist, so muss bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von sein.
Andere Fassung Der Satz von Kato ist in der Fachliteratur auch in einer anderen Fassung zu finden, welche zwischen der oben dargebotenen Version und der obigen Verallgemeinerung angesiedelt ist. Diese Fassung lautet wie folgt:Hans-Dieter Wacker: Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato. In: Mathematische Zeitschrift 190 (1985), S. 55 ff Es sei ein stetiger linearer Endomorphismus auf dem Banachraum und weiter ein abgeschlossener Unterraum von derart, dass einerseits und andererseits die direkte Summe ein abgeschlossener Unterraum von ist. Dann ist der Bildraum bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von .
Verwandtes Resultat: Der Satz von Riesz über kompakte Operatoren Die Bedeutung der im Satz von Kato aufgeworfenen Frage nach dem Zusammenhang zwischen Abgeschlossenheit und Kodimensionalität der Bildräume stetiger linearer Abbildungen zeigt sich auch bei der Untersuchung der kompakten Operatoren auf Banachräumen. Hierzu gilt ein klassischer Satz des ungarischen Mathematikers F. Riesz:Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 103 ff Es sei ein kompakter Operator auf dem Banachraum . Dann hat der zugehörige Operator die folgenden Eigenschaften: (1) Der Nullraum von ist endlich-dimensional. (2) Der Bildraum von ist abgeschlossen. (3) Der Faktorraum ist endlich-dimensional.
Anmerkungen Harro Heuser nennt die Verallgemeinerung des Satzes von Kato ein wichtiges hinreichendes Kriterium. In der obigen anderen Fassung spielt der Satz von Kato etwa in der Spektraltheorie eine bedeutende Rolle. Im englischsprachigen Raum wird der Satz von Kato manchmal auch als closed range theorem of T. Kato bezeichnet.Vgl. MR0793348!
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kato