Der Krullsche Hauptidealsatz ist ein zentraler Satz der Dimensionstheorie von noetherschen Ringen in der kommutativen Algebra, der nach Wolfgang Krull benannt ist und von ihm 1928 veröffentlicht wurde.Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, S. 231.Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 1928, §3.
Formulierung Sei ein noetherscher Ring, eine Nichteinheit und minimal unter den Primidealen, die das Hauptideal enthalten.
Dann ist die Höhe des Primideals höchstens .Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.1.Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.1.Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. 1969, Corollary 11.17.
Verallgemeinerung auf beliebige Ideale Die Aussage des Krullschen Hauptidealsatzes lässt sich von Hauptidealen auf beliebige Ideale verallgemeinern. Sie wird dann auch als Krullscher Höhensatz bezeichnet.Markus Brodmann: Algebraische Geometrie: Eine Einführung. Birkhäuser, Basel 1989, ISBN 978-3-7643-1779-9, S. 143.
Sei ein noetherscher Ring, ein echtes Ideal, welches von Elementen erzeugt wird und minimal unter den Primidealen, die das Ideal enthalten. Dann ist die Höhe des Primideals höchstens .Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.2.Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.4.
Bedeutung für die algebraische Geometrie Da man die Dimension einer affinen algebraischen Varietät als Krulldimension des zugehörigen Koordinatenrings erhält, liefert der Krullsche Hauptidealsatz direkt Abschätzungen über Dimensionen bestimmter Varietäten. Man erhält so etwa die folgende Aussage:
Sind irreduzible projektive Varietäten im -dimensionalen projektiven Raum über dem Körper . Dann erhält man für eine irreduzible Komponente die Abschätzung .Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.9.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kommutative Algebra Kategorie:Wolfgang Krull als Namensgeber Kategorie:Satz (Algebraische Geometrie)