Schale (Technische Mechanik)

mini|Modell einer doppeltgekrümmten Schale Eine Schale ist in der Technischen Mechanik ein Flächentragwerk, welches gekrümmt ist und Belastungen sowohl senkrecht (wie eine Platte) als auch in seiner Ebene (wie eine Scheibe) aufnehmen kann (→Schalentheorie).

Schalen verdanken ihre Tragwirkung der Krümmung. Sie können einfach gekrümmt sein, z. B.: zylindrisch, oder doppelt gekrümmt, z. B.: sphärisch.

Schalen nutzen die Tragfähigkeit ihres Materials optimal aus, indem sie Lasten über Membrankräfte abtragen, welche über die Dicke der Schale konstant sind. So kommt es zu hoher Steifigkeit bei geringem Gewicht und Materialeinsatz, was die Schalen in Natur und Technik bedeutend macht.

Definition „Unter Schale versteht man in der Festigkeitslehre einen nach einer krummen Fläche gebildeten Körper, dessen Dicke im Verhältnis zu seinen übrigen Ausmaßen äußerst gering ist. Auch die Benennung „Schale“ weist darauf hin, dass es sich um einen Körper handelt, dessen Dicke verhältnismäßig ebenso klein ist wie die der Eierschale.“

Die Schalenbauweise ist eine Form einfach oder doppelt gekrümmter Flächentragwerke. Im Gegensatz dazu werden räumliche Flächentragwerke aus kraftschlüssig miteinander verbundenen ebenen Elementen (Scheiben) als Faltwerke bezeichnet. Die Lasten von Schalen werden – anders als beim herkömmlichen Bauen – durch Längskräfte und Biegung aufgenommen. Bei dünnen Schalen, deren Dicke klein gegenüber der Spannweite ist, kann die Biegung vernachlässigt werden; in diesem Falle werden die Lasten primär durch Längskräfte zu den Auflagern hin übertragen. Diesen Zustand bezeichnet man als Membranspannungszustand.

Vorkommen von Schalen in Natur und Technik In der Natur kommen Schalen vor in: Halmen von Süßgräsern Außenskeletten von Gliederfüßern (Insekten, Spinnen, Krebse) oder Schalenweichtieren (Muscheln) Vogeleierschalen Knochen (Schädel, Schulterblatt) Panzern (Schildkröten). In der Technik und im Alltag findet man Schalen bei: Silos Dachkonstruktionen (Hyparschalen, HP-Schalen), Betonschalen, Gewölben, Kuppeln Karosserien (Monocoque) Gefäßen (Schalen, Dosen, Flaschen) Rohren

Gestalterische Aspekte Schalen verbinden durch die geringe Stärke ihrer Wölbung den Vorteil einer selbst tragenden Membran mit großen Spannweiten.

Kuppelartige (konvexe) Wölbungen schaffen mehr nutzbaren Raum als konkave. Der überwölbte Raum wirkt beschützend. Primäre Stützkonstruktionen, wie die Pylonen von Membrankonstruktionen, sind bei Schalentragwerken nicht notwendig, sodass ein ungestörtes Raumkontinuum gebildet werden kann. Da gekrümmte Gitterschalen mit annähernd beliebigen Projektionsflächen hergestellt werden können, stellen Übergänge und Anschlüsse an orthogonalen Flächen selten ein Problem dar. Kuppeln können beispielsweise auf einem kreisförmigen Grundriss und Tonnengewölbe auf einer rechteckigen Grundfläche errichtet werden.

Dünne Schalen sind leistungsfähig, aber auch empfindlich. Neben speziellen statisch-konstruktiven Eigenschaften können sie ebenso besondere ästhetische Ansprüche erfüllen.

Tragverhalten Die Biegesteifigkeit dünnwandiger oder schlanker Strukturen ist wesentlich geringer als ihre Dehnsteifigkeit in tangentialer Richtung. Um das Tragverhalten solcher Strukturen optimal auszunutzen, gilt es also: eine Biegebeanspruchung möglichst zu vermeiden.

Gekrümmte Stäbe können bei günstig gewählter Form und Lagerung Lasten biegefrei abtragen: Unter einer konstanten Streckenlast muss die Bogenlinie beispielsweise eine Parabel sein, damit ein biegefreier Zustand eintreten kann. Unter Eigengewicht stellt sich die Kettenlinie (Kosinus hyperbolicus) als biegefreie Form ein.

Bei Schalen ergeben sich wegen der Flächenwirkung wesentlich günstigere Verhältnisse. Eine Schale kann im Gegensatz zum Bogen Stützfläche für mehr als eine Flächenlast sein. Umgekehrt kann eine gegebene Last durch unterschiedliche Schalenformen membrangerecht abgetragen werden. Eine optimale Schalenform gibt es daher nicht.

Membranspannungszustand Unter bestimmten Voraussetzungen werden bei einer Schale die Belastungen vorrangig durch über die Wandstärke konstant verteilte und zur Mittelfläche parallele Spannungen zu den Stützen hin abgeleitet. In solchen Fällen wird von einem Dehnspannungs- oder Membranspannungszustand gesprochen. Er liegt auch im Scheibenspannungszustand ebener Flächentragwerke (Scheiben) vor. Im Membranspannungszustand wird das Tragverhalten des Materials optimal ausgenutzt.

Voraussetzungen für den Membranspannungszustand sind: Die Mittelfläche ist stetig gekrümmt und weist keine sprunghaften Krümmungsänderungen auf. Die Schalendicke ändert sich nicht sprunghaft. Die Lasten senkrecht zur Schalenmittelfläche werden flächenverteilt aufgebracht (Punktlasten werden vermieden). Die Lasten ändern sich nicht sprunghaft. Durch die Lagerung werden keine Querkräfte oder Momente eingeleitet, d. h. die Lagerung erfolgt in tangentialer Richtung der Schale. Die Querverformung und Verdrehung der Schale wird durch die Lager nicht behindert. Die Temperaturverteilung über die Dicke der Schale ist konstant.

mini|Membran- (blau) und Biegespannungszustand (grün) in einer durch eine Einzelkraft belasteten Kuppelschale Wird eine dieser Voraussetzungen verletzt, so kommt es zum ungünstigeren Biegespannungszustand.

Das Bild rechts zeigt eine Kuppelschale, die in ihrer Mitte mit einer Einzelkraft belastet wird. In der Umgebung der Krafteinleitung, welche die dritte Bedingung für den Membranspannungszustand verletzt, liegt ein Biegespannungszustand vor (grün). Fernab der Krafteinleitung liegt jedoch der Membranspannungszustand vor (blau), denn die Kuppel ist stetig gekrümmt, und die Lagerung erfolgt tangential ohne Behinderung einer Drehung der Schale.

Biegespannungszustand Durch Störung des Membranspannungszustandes bilden sich in der Umgebung der Störstelle über die Dicke variierende Biegespannungen und Schubspannungen senkrecht zur Mittelfläche aus. Einen solchen Zustand der Schale bezeichnet man als Biegespannungszustand. Nach dem Prinzip von St. Venant klingen die Störungen mit dem Abstand zur Störstelle rasch ab.

Der Biegespannungszustand kann mit dem Plattenspannungszustand ebener Flächentragwerke verglichen werden. Im Gegensatz zu diesen entkoppeln sich jedoch infolge der Krümmung die Membran- und Biegespannungszustände beim Schalenproblem nicht.

Allgemeine Eigenschaften Empfindlichkeit gegen Imperfektionen Weil die Biegespannungen gegenüber den Membranspannungen sehr groß werden können, ist das Tragverhalten einer Schale empfindlich gegenüber Unregelmäßigkeiten in der Form oder der Belastung. Eine ungenügende Berücksichtigung oder in Folge von Imperfektionen auftretende Verletzungen der Voraussetzungen für den Membranspannungszustand haben unter Umständen gravierende Auswirkungen. Aus diesem Grund ist es wichtig, in den Berechnungsverfahren alle Eigenschaften einer Schale möglichst genau abzubilden.

Schalenformen Neben den weitgehend beliebig und unregelmäßig geformten Blechen im Fahrzeugbau treten insbesondere in der Bautechnik oft einfache Schalenformen auf.

Unterscheidung nach der Erzeugung durch Verschiebung einer ebenen Kurve oder Geraden (siehe: Regelfläche) entlang einer anderen Kurve, zum Beispiel bei Gewölben, Tonnendächern, Röhren durch Drehung/Rotation einer ebenen Kurve, der Meridiankurve, um eine in ihrer Ebene liegende Rotationsachse.Zu diesen Rotationsschalen gehören (s. auch die Abbildungen unten): die Zylinderschale (die Meridiankurve ist eine Parallele zur Rotationsachse) die Kugelschale (die Meridiankurve ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt auf der Rotationsachse) die Kegelschale (die Meridiankurve ist eine Gerade, welche die Rotationsachse schneidet). Häufig werden unterschiedliche Rotationsschalen miteinander kombiniert, z. B. eine (endlich lange) Zylinderschale mit Halbkugelschalen an den Enden. Die Rotationsschalen können in vielen Fällen mit der Membrantheorie (s. u.) berechnet werden.

Unterscheidung nach der Gaußschen Krümmung Hinsichtlich der Gaußschen Krümmung  werden unterschieden: : positiv gekrümmte Schalen (z. B. Kugeln, Kuppeln) : abwickelbare Schalen (z. B. Tonnen, Kegel) : negativ gekrümmte Schalen (z. B. Hyperboloide, Sattelflächen)

Berechnung

Annahmen Bei der Berechnung von Schalen kann oftmals folgendes vorausgesetzt werden: Die Schalendicke ist klein im Vergleich zu den übrigen Abmessungen. Die Verformungen sind klein im Vergleich zur Schalendicke. Punkte, die auf einer Normalen zur Mittelebene liegen, befinden sich auch nach einer Verformung wieder auf einer solchen Geraden, ähnlich wie bei den Bernoullischen Annahmen der Balkentheorie. Senkrecht zur Mittelebene wirkende Normal- und Schubspannungen sind vernachlässigbar klein. Der Werkstoff ist homogen und isotrop und folgt dem Hookeschen Gesetz.

Abweichungen von diesen Voraussetzungen bedingen in der Regel weit höheren Berechnungsaufwand.

Spezielle Problemstellungen, insbesondere im Zusammenhang mit der modernen Werkstoffforschung (Verbundwerkstoffe u. ä.), machen die Herleitung höherer Schalentheorien erforderlich, z. B. von Multi-Direktor- und Mehrschichten-Schalentheorien, bei denen meist alle o. g. vereinfachenden Annahmen nicht gelten können.

Membrantheorie Die Membrantheorie geht von weiteren Vereinfachungen aus. Sie ergibt keine genauen Lösungen, reicht jedoch für viele Anwendungsfälle aus. Durch die geringe Wanddicke sind die Biegesteifigkeiten und die inneren Biegemomente klein. Durchbiegungen werden daher vernachlässigt. Die maximalen Biegemomente treten in den Randbereichen auf. Es treten nur Normal- und Schubspannungen auf, die innerhalb der Ebene liegen und über die Wandstärke (Membrandicke) konstant sind. Der Einfluss der Formänderung auf den Kräfteverlauf wird vernachlässigt. Das Tragwerk wird also praktisch im unverformten Zustand untersucht (Theorie I. Ordnung). Der Rand einer Membranschale ist frei oder tangential abgestützt. Die Kräfte an den Schalenrändern sind tangential zur Mittelebene gerichtet. Ein Spannungszustand in Schalen, der den Bedingungen der Membrantheorie entspricht, wird als Membranspannungszustand bezeichnet. Er ist Grundlage der Kesselformel.

Biegetheorie Wenn die Voraussetzungen der Membrantheorie nicht oder nicht annähernd gegeben sind, muss die Biegetheorie angewendet werden, d. h. die Biegesteifigkeit der Schale muss berücksichtigt werden, bei dicken Schalen u. U. auch die endliche Schubsteifigkeit.

Manchmal genügt es, nach der Anwendung der Membrantheorie die Einwirkungen der Biegetheorie lokal nachträglich zu berücksichtigen. Das gilt vor allem, wenn der Rand der Schale gelenkig oder eingespannt abgestützt ist und damit die Bedingungen der Membrantheorie nicht erfüllt sind. Andere Beispiele sind die Übergänge zwischen unterschiedlichen Rotationsschalen.

Im Bauwesen verwendete Materialien für Schalenkonstruktionen Schalen sind oftmals komplizierter zu entwerfen und zu fertigen als andere Tragwerke, benötigen aber in der Regel einen geringeren Materialeinsatz.

Schalen können monolithisch hergestellt werden, wobei in der Regel Stahlbeton eingesetzt wird. Alternativ werden sie aus vorgefertigten Einzelteilen zusammengesetzt, etwa aus gewölbten Stahlblechen, oder als Gittertragwerk (Gitterschale).

Das Skelett der Gittertragwerke besteht häufig aus Stahl, Holz (siehe Zollingerbauweise) oder Verbundwerkstoffen und kann mit textilen Baustoffen, Glas oder anderen Materialien ausgefacht bzw. überspannt werden. Die Ausfachungen können dabei statische Funktionen übernehmen oder lediglich als Verkleidungselement bzw. Raumabschluss dienen.