Die narzisstischen Zahlen (auch Armstrong-Zahlen genannt) sind eine Teilmenge natürlicher Zahlen, die durch bestimmte Rechenvorschriften ihrer Ziffern sich selbst erzeugen. Sie spielen in der reinen Mathematik allerdings keine besondere Rolle, da sie stark vom verwendeten Zahlensystem (in der Regel vom Dezimalsystem) abhängen und somit keinen echten wissenschaftlichen Nutzen bringen.
Armstrong-Zahlen Eine Armstrong-Zahl (nach Michael F. Armstrong)Armstrong Numbers, Dik T. WinterLionel Deimel’s Web Log oder PPDI (pluperfect digital invariant), Harvey Heinz ist eine Zahl, deren Summe ihrer Ziffern, jeweils potenziert mit der Stellenanzahl der Zahl, wieder die Zahl selbst ergibt.
Mit anderen Worten:
Eine n-stellige Zahl der Form mit und
ist eine Armstrong-Zahl, wenn gilt: .
Beispiele Beispiel 1:
Ein Beispiel für eine solche Zahl mit der Potenz n=5 ist die fünfstellige Zahl 54748:
Beispiel 2:
Die Liste von kleinsten narzisstischen Zahlen mit Stellen im Dezimalsystem ist die folgende (wenn keine Zahl mit dieser Stellenzahl existiert, steht 0 an dieser Stelle): 1, 0, 153, 1634, 54748, 548834, 1741725, 24678050, 146511208, 4679307774, 32164049650, 0, 0, 28116440335967, 0, 4338281769391370, 21897142587612075, 0, 1517841543307505039, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 0, … ()
Es gibt insgesamt genau 88 narzisstische Zahlen (ohne die 0) im Dezimalsystem. Die Anzahl ihrer Stellen gibt die folgende Zahlenliste an: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39 ()
Ordnet man diese Zahlen nach ihrer Stellenanzahl , so erhält man folgende Tabelle (): n narzisstische Zahlen zur Basis 10 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 93 153, 370, 371, 4074 1634, 8208, 94745 54748, 92727, 930846 5488347 1741725, 4210818, 9800817, 99263158 24678050, 24678051, 885934779 146511208, 472335975, 534494836, 91298515310 467930777411 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 9420459191414 2811644033596716 4338281769391370, 4338281769391371 n narzisstische Zahlen zur Basis 1017 21897142587612075, 35641594208964132, 3587569906225003519 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 492927388592808882620 6310542598859969391621 128468643043731391252, 44917739914603869730723 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 3545259010403169193594324 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 23931366443004156935009325 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 n narzisstische Zahlen zur Basis 1027 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 17726545317179279236648976529 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 2386671643552397598039036929531 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 230909268261619030750969533891532 1733350999778224930872510396277233 186709961001538790100634132976990, 18670996100153879010063413297699134 112276328532937254159282290020459335 12639369517103790328947807201478392, 1267993778027227856630388559419692237 121916721962543412156973580360996601938 1281579207836605995509977054529612936739 115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401
Verallgemeinerung Wählt man eine andere Basis , so ist eine narzisstische Zahl analog zum Dezimalsystem definiert:
Eine n-stellige Zahl mit Basis b der Form mit und
ist eine narzisstische Zahl mit Basis b, wenn gilt: .
Beispiele Beispiel 1:
Die Dezimalzahl ist eine narzisstische Zahl mit Basis .
Es ist im Vierersystem (es ist ), und tatsächlich gilt für die dann dreistellige Zahl: .
Beispiel 2:
Die Dezimalzahl ist eine narzisstische Zahl mit Basis .
Es ist im Sechsersystem (es ist ), und tatsächlich gilt für die dann fünfstellige Zahl: .
Eine Liste der narzisstischen Zahlen mit Basis wurde schon weiter oben angegeben ().
Es folgt eine Liste der narzisstischen Zahlen mit Basis , geschrieben im jeweiligen System (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern gesetzt wird) bzw. im Dezimalsystem: Basis b narzisstische Zahlen zur Basis b narzisstische Zahlen zur Basis 10 2 0, 1 0, 13 0, 1, 2, 12, 22, 122 1, 2, 5, 8, 174 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 () 1, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243 ()5 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, 434434444, 1143204434402, 14421440424444 () 1, 2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113, 1874374, 338749352, 2415951874 ()6 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035, 1053025020422, 1053122514003, 1435403205450, 1435403205451, 1450005114454, 2135254510352, 2145555022413, 2500150125455, 133024510545125, 13435022253535055, 15205355253553320, 15205355253553321, 105144341423554535 () 1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, 36140, 269458, 391907, 10067135, 2510142206, 2511720147, 3866632806, 3866632807, 3930544834, 4953134588, 5018649129, 6170640875, 124246559501, 4595333541803, 5341093125744, 5341093125745, 19418246235419 ()7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034, 205145, 1424553, 1433554, 3126542, 4355653, 6515652, 125543055, 161340144, 254603255, 336133614, 542662326, … () 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, 3222, 3612, 3613, 4183, 9286, 35411, 191334, 193393, 376889, 535069, 794376, 8094840, 10883814, 16219922, 20496270, 32469576, 34403018, 416002778, 416352977, … ()8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, 40663, 42710, 42711, 60007, 62047, 636703, 3352072, 3352272, 3451473, 4217603, 7755336, 16450603, 63717005, 233173324, 3115653067, 4577203604, 61777450236, 147402312024, … () 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, 16819, 17864, 17865, 24583, 25639, 212419, 906298, 906426, 938811, 1122179, 2087646, 3821955, 13606405, 40695508, 423056951, 637339524, 6710775966, 13892162580, 32298119799, … ()9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462, 2225764, 6275850, 6275851, 12742452, 356614800, 356614801, 1033366170, 1033366171, 1455770342, 8463825582, 131057577510, 131057577511, …() 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 41, 50, 126, 127, 468, 469, 1824, 8052, 8295, 9857, 1198372, 3357009, 3357010, 6287267, 156608073, 156608074, 403584750, 403584751, 586638974, 3302332571, 42256814922, 42256814923, 114842637961, … ()10 siehe oben () siehe oben () … … …12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29, 125, 811, 944, 1539, 28733, 193084, 887690, 2536330, 6884751, 17116683, 5145662993, 25022977605, 39989277598, 294245206529, 301149802206, 394317605931, 429649124722, 446779986586, … () … … …16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 342, 371, 520, 584, 645, 1189, 2458, 2729, 1456, 1457, 1547, 1611, 2240, 2241, 2755, 3240, 3689, 3744, 3745, 47314, 79225, 177922, 177954, 368764, 369788, 786656, 786657, 787680, 787681, 811239, 812263, … () … … … Beispiel 3:
Wenn man die k-ten Potenzen der Ziffern einer k-stelligen Zahl n aufsummiert, erhält man (für n=1, 2, 3, 4, …) die folgenden Werte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 4, 5, 8, 13, 20, 29, 40, 53, 68, 85, 9, 10, 13, 18, 25, 34, 45, 58, 73, 90, 16, 17, 20, 25, 32, 41, 52, 65, 80, 97, 25, 26, 29, 34, 41, 50, 61, 74, 89, 106, 36, 37, 40, 45, 52, 61, 72, 85, 100, 117, 49, 50, 53, 58, 65, … () Die obige Liste ist so zu deuten: zum Beispiel steht an der . Stelle (dieser Wert ist zweistellig) der Wert . Wenn man also von die Ziffern mit der Anzahl ihrer Stellen, also , potenziert, ergibt es . Tatsächlich ist . Erhält man wieder exakt den Wert der Stelle (in diesem Fall wäre es gewesen), hätte man eine narzisstische Zahl gefunden.
Eigenschaften Die Anzahl der narzisstischen Zahlen in einer gegebenen Basis b ist endlich. Beweis: Die maximal mögliche Summe von k-ten Potenzen einer k-stelligen Zahl in der Basis ist . Ab einer gewissen Größe von k gilt aber auf jeden Fall . Somit darf keine narzisstische Zahlen mit Basis mehr als k Stellen haben, was bedeutet, dass es nur endlich viele narzisstische Zahlen geben kann. Spezialfall: Jede narzisstische Zahl im Dezimalsystem muss kleiner als sein. Beweis: Wegen der obigen Eigenschaft muss für k-stellige Zahlen gelten: . Diese Ungleichung hat die Lösung . Somit darf eine narzisstische Zahl im Dezimalsystem nicht größer als sein. Es gibt nur 88 narzisstische Zahlen im Dezimalsystem. Die größte narzisstische Zahl im Dezimalsystem hat aber nur 39 Stellen (statt den oben angegebenen maximalen 60 Stellen) und ist die folgende:
Alle einstelligen Zahlen sind narzisstische Zahlen (in jeder Basis). Es gibt mindestens eine zweistellige narzisstische Zahl in einer Basis genau dann, wenn keine Primzahl ist. Die Anzahl der zweistelligen narzisstischen Zahlen in der Basis ist dann , wobei die Anzahl der positiven Teiler von ist (zum Beispiel ist , weil 10 die Teiler 1, 2, 5 und 10 hat). Jede Basis , welche kein Vielfaches von ist, hat mindestens eine dreistellige narzisstische Zahl. Die Basen ohne dreistellige narzisstische Zahlen sind die folgenden: 2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, … () Es gibt mit diesen Basen also keine dreistellige Zahl mit .
Perfekte digitale Invariante Eine Zahl, deren Summe ihrer Ziffern, jeweils potenziert mit irgendeiner Zahl (und nicht mit ihrer Stellenanzahl), wieder die Zahl selbst ergibt, nennt man perfekte digitale Invariante (oder PDI). Diese Zahlen sind allerdings keine narzisstischen Zahlen. Im Gegensatz zu den narzisstischen Zahlen gibt es bei PDIs (mit Basis ) keine obere Schranke für die Größe der Zahl. Man weiß auch nicht, ob es bei gegebener Basis endlich oder unendlich viele PDIs gibt.
Beispiele: Die Dezimalzahl hat vier Dezimalstellen, man kann sie aber als Summe von fünften Potenzen ihrer Dezimalstellen darstellen:
Sie ist also eine perfekte digitale Invariante, aber keine narzisstische Zahl. Die kleinsten PDIs mit irgendeiner Potenz ihrer Ziffern sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 4150, 4151, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 194979, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 14459929, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, … () Die dazugehörigen Potenzen sind 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, … () In den beiden oberen Listen stehen (zum Beispiel) an 29. Stelle die Zahlen 14459929 und 7. Das bedeutet, dass die 8-stellige Zahl ist. In den beiden oberen Listen sind aber auch narzisstische Zahlen inkludiert. Zum Beispiel sind an 25. Stelle die Zahlen 1741725 und 7. Das bedeutet, dass die 7-stellige Zahl ist. Die folgende Liste gibt die kleinsten Zahlen an, die gleich sind der Summe ihrer Ziffern mit n-ter Potenz (n=1, 2, 3, …) (die 0 gibt an, dass es keine solche Zahl gibt): 2, 0, 153, 1634, 4150, 548834, 1741725, 24678050, 146511208, 4679307774, 32164049650, 0, 564240140138, 28116440335967, 0, 4338281769391370, 233411150132317, … () Es steht zum Beispiel an der sechsten Stelle . Das bedeutet, dass ist und dass gilt:
Narzisstische Zahlen mit steigender Potenz Narzisstische Zahlen mit steigender Potenz sind Zahlen, deren Summe ihrer Ziffern, potenziert mit deren Stelle in der Zahl (von links gezählt), die Zahl selbst ergibt. Also zum Beispiel eine Zahl abc = .
Beispiele:
Folgende Zahlen sind in diesem Sinne narzisstisch: