Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.
Definition Definition in homogenen Koordinaten Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, der - und der -dimensionale projektive Raum über mit homogenen Koordinaten und .
Die Segre-Einbettung von und ist definiert als
, wobei die nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.
Das Bild wird als Segre-Varietät bezeichnet.Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.
Koordinatenfreie Definition Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale -Vektorräume und und die zugehörigen projektiven Räume und definiert man die Segre-Einbettung mit Hilfe des Tensorprodukts alsFiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, S. 49. .
Eigenschaften Die Segre-Einbettung ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.
Somit ist die Segre-Varietät tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf mit , so erhalten wir . Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der Minoren der Matrix aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.
Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven Varietäten Sind , (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch (lokal-)abgeschlossen.
Da bijektiv ist, kann damit auf die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion überträgt.
Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.21.Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Exercise 3.16.
Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, Aufgabe 4.7.
Beispiele Quadrik Im einfachsten Fall erhalten wir für eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach . Die Segre-Varietät ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten mit , so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.
Einzelnachweise
Literatur Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3. Karl-Heinz Fiesler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3. Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, Exercises 2.10., 3.16.
Kategorie:Algebraische Geometrie