Ein Lax-Paar bezeichnet in der Mathematik zwei Matrizen oder Operatoren und , die von einem Zeitparameter abhängen und die Lax-Gleichung
erfüllen, wobei die partielle Ableitung nach und den Kommutator bezeichnet. Sie sind nach Peter Lax benannt, der sie 1968 im Studium der Korteweg-de-Vries-Gleichung formalisierte.
Lax-Paare sind ein nützliches Werkzeug zum Ermitteln der Erhaltungsgrößen einiger dynamischer Systeme. Die Lax-Gleichung stellt sicher, dass die Eigenwerte (Spektrum) des Operator unabhängig von der Zeit sind. Diese Eigenschaft wird als Isospektralität bezeichnet.
Lax-Paare spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der integrablen Systeme und werden für die Inverse Streutransformation benötigt. Die Sacharow-Schabat-Konstruktion ist eine Methode um Lax-Paare zu konstruieren.
Die Lax-Methode 1968 führte Peter Lax eine Methode ein, die eine integrierbare nichtlineare partielle Differentialgleichung zu einer gegebenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung liefert. Die Grundidee ist wie folgt:
Gegeben sei ein linearer Differentialoperator , der im Spektralproblem
auftaucht. Man sucht einen Operator , so dass gilt (i) Der Spektralparameter ändert sich nicht mit der Zeit, d. h. . (ii) bleibt eine Lösung desselben linearen Problems . (iii) ist ein Multiplikationsoperator, d. h. kein Differentialoperator. Aus Bedingung (ii) folgt:
und mithilfe von und erhält man
wobei den partiellen Differentialoperator nach bezeichnet. Nach Kürzen des Terms auf beiden Seiten erhält man:
Da ein Multiplikationsoperator ist, folgt
also die klassische Lax-Gleichung .
Literatur Goriely, Alain. Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems. Singapur, World Scientific, 2001.
Einzelnachweise
Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen