Pontrjagin-Zahlen sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle charakteristische Zahlen. Es sind ganzzahlige topologischen Invarianten für reelle Vektorbündel, welche aus deren Pontrjagin-Klassen berechnet werden. Insbesondere gibt es diese auch für reelle Mannigfaltigkeiten über deren Tangentialbündel. Nach einem Satz von Pontrjagin und Thom sind zwei orientierbare glatte Mannigfaltigkeiten genau dann orientiert bordant, wenn alle ihre Stiefel-Whitney-Zahlen und Pontrjagin-Zahlen übereinstimmen.
Definition Sei ein reelles Vektorbündel über einer orientierbaren -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit mit einer Fundamentalklasse und eine Partition. Mit der Kronecker-Paarung und dem Cup-Produkt ist die Stiefel-Whitney-Zahl von zu dieser Partition:Milnor & Stasheff 74, S. 185
Pontrjagin-Zahlen werden für gewöhnlich für gewöhnlich für deren Tangentialbündel verwendet mit der Kurznotation: .
Beispiele
Die Pontrjagin-Zahlen des komplexen projektiven Raumes (dessen zugrundeliegende reelle Mannigfaltigkeit -dimensional ist) sind gegeben durch:
Eigenschaften
Unter einem Orientierungswechsel wechselt das Vorzeichen der Fundamentalklasse und dadurch auch aller Pontrjagin-Zahlen einer glatten Mannigfaltigkeit. Verschwindet also nur eine einzige nicht, dann hat die glatte Mannigfaltigkeit keinen orientierungsumkehrenden Diffeomorphismus.Milnor & Stasheff 74, S. 186 Eine kompakte orientierbare glatte Mannigfaltigkeit ist der Rand einer kompakten orientierbaren glatten Mannigfaltigkeit genau dann, wenn alle ihre Stiefel-Whitney-Zahlen und Pontrjagin-Zahlen verschwinden.Milnor & Stasheff 74, Lemma 17.3
Siehe auch
Stiefel-Whitney-Zahl Chern-Zahl
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Topologie Kategorie:Differentialtopologie