Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer -graduierten Algebra aus kommutierenden (Parität ) und nicht-kommutierenden (Parität ) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente : .
Eigenschaften Seien Graßmann-Zahlen und komplexe Zahlen. Dann gilt Definitorische Eigenschaften Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation: Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition: Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl: Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:
Folgerungen Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl: Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl: Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl: Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null: Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein: So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion .
Integration und Differentiation Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren: Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei . Dann ist: Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:
Anwendung Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional
mit der Lagrangedichte für Fermionen , den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern und den Graßmann-Zahlen . Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):
Formale mathematische Definition Sei ein -dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis und
die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über , wobei das äußere Produkt und die direkte Summe bezeichnet.
Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.
Das Symbol wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.
Graßmann-Zahlen sind also von der Form
für streng wachsende -Tupel mit , und komplexe antisymmetrische Tensoren vom Rang .
Der Spezialfall entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.
Für unendlich-dimensionale Vektorräume bricht die Reihe
nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form
wobei dann als Körper und als Seele der Superzahl bezeichnet wird.
Literatur Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.
Weblinks Varilly: Graßmann Numbers in Quantum Mechanics
Kategorie:Quantenfeldtheorie Kategorie:Zahl Kategorie:Ringtheorie