mini|hochkant=1.5|Satz vom Dreizack: Alle roten Strecken sind gleich lang, vor allem: (Dreizack). Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Lemma über den Dreizack) und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.
In einem Dreieck sei der Mittelpunkt seines Inkreises und der Schnittpunkt von (Winkelhalbierende in ) mit seinem Umkreis, dann besagt der Satz vom Dreizack:Alexey A. Zaslavsky, Mikhail B. Skopenkov: Mathematics via Problems: Part 2: Geometry. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-4879-0, S. 15. Die Strecken , und sind gleich lang, das heißt . liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch und auf dem Umkreis des Dreiecks .
Betrachtet man zusätzlich den Mittelpunkt .des Ankreises der Seite , so liegt dieser auf demselben Kreis wie sowie auf der Geraden , so dass Strecke der Durchmesser dieses Kreises ist.Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google) Die Länge des Durchmessers beträgt dabei:
Hierbei steht für den Radius des Umkreises des Dreiecks .
Der Mittelpunkt des gemeinsamen Kreises von entspricht zudem dem Südpol im Südpolsatz.
Literatur Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)
Weblinks
A Property of Circle Through the Incenter auf cut-the-knot.org Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters auf cut-the-knot.org
Einzelnachweise И. А. Кушнир: Это открытие – золотой ключ Леонарда Эйлера. (PDF; 186 kB) Ф7 (Теорема трилистника), S. 34; Beweis auf S. 36.
Kategorie:Dreiecksgeometrie Gua de