In der Mathematik beschreibt das Konzept Lokale Starrheit die Nicht-Deformierbarkeit von Darstellungen von Gruppen.
Ein stärkerer Starrheitsbegriff ist die (globale) Mostow-Starrheit.
Definition Sei eine Matrixgruppe, zum Beispiel oder , ein Gitter und die Inklusion.
Das Gitter heißt lokal starr, wenn es eine Umgebung von in der Darstellungsvarietät gibt, so dass alle Darstellungen in dieser Umgebung zu äquivalent (d. h. vermittels eines Elementes aus konjugiert) sind.
Mit einem fest gewählten endlichen Erzeugendensystem von kann man lokale Starrheit wie folgt beschreiben: es gibt eine Umgebung des neutralen Elements in , so dass für jeden Homomorphismus mit
gilt: es gibt ein mit .
Kriterien Eine hinreichende Bedingung für lokale Starrheit einer Darstellung ist das Verschwinden der Kohomologiegruppe , wobei die adjungierte Darstellung von bezeichnet.
Aus Weil-Starrheit folgt: eine halbeinfache Darstellung ist genau dann lokal starr, wenn ist.
Beispiele Lokale Starrheit wurde bewiesen: für kokompakte Gitter in von SelbergAtle Selberg: On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces. 1960 Contributions to function theory (internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960) pp. 147–164 Tata Institute of Fundamental Research, Bombay für kokompakte Gitter in von CalabiEugenio Calabi: On compact, Riemannian manifolds with constant curvature. I. 1961 Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III pp. 155–180 American Mathematical Society, Providence, R.I. für kokompakte irreduzible Gitter in einer Lie-Gruppe nicht lokal isometrisch zu von WeilAndré Weil: On discrete subgroups of Lie groups. II. Ann. of Math. (2) 75 1962 578–602. für nicht-kokompakte Gitter in Lie-Gruppen vom -Rang 1 nicht lokal isometrisch zu oder von Garland und RaghunathanH. Garland, M. S. Raghunathan: Fundamental domains for lattices in (R-)rank 1 semisimple Lie groups. Ann. of Math. (2) 92 1970 279–326. für nicht-kokompakte irreduzible Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom -Rang als Konsequenz des Superstarrheitssatzes von Margulis.G. A. Margulis: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math. 76 (1984), no. 1, 93–120.
Gegenbeispiele Hyperbolische Dehn-Chirurgie: Wenn eine nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist, dann erhält man durch Dehn-Chirurgie unendlich viele geschlossene hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten . Seien und die durch die hyperbolischen Strukturen gegebenen Darstellungen.
Die Darstellungen können mit dem durch die Inklusion induzierten Homomorphismus verknüpft werden. Die so erhaltene Folge von Darstellungen konvergiert für gegen , ist aber nicht zu äquivalent. Die Darstellung ist also nicht lokal starr.
Literatur Joan Porti: Local and infinitesimal rigidity of representations of hyperbolic three manifolds. RIMS Kôkyûroku, Kyoto University Vol 1836 (2013), 154–177, online (PDF; 293 kB)
Einzelnachweise
Kategorie:Darstellungstheorie von Gruppen