mini|Darstellung des Integrals als Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion im Integrationsbereich von bis Die Integralrechnung bildet gemeinsam mit der Differentialrechnung die Infinitesimalrechnung, einen zentralen Teilbereich der Analysis. Die Integralrechnung ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem Oberbegriff Integral werden das unbestimmte und das bestimmte Integral einer Funktion zusammengefasst. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.
Das bestimmte Integral einer Funktion ergibt eine Zahl. Ist eine reelle Funktion einer reellen Variablen , die im Koordinatensystem in einem Intervall von durch einen Graphen dargestellt ist, dann gibt das bestimmte Integral den Inhalt der Fläche an, die in diesem Intervall zwischen dem Graphen und der -Achse liegt. und werden als Integrationsgrenzen bezeichnet. Falls Flächenstücke unterhalb der -Achse vorkommen, werden diese hierbei negativ gezählt. Diese Vorzeichenkonvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung vom Raum der Funktionen in den Zahlenraum ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt. Das unbestimmte Integral einer Funktion ist eine Funktion , deren erste Ableitung gerade die ursprüngliche Funktion ist. wird als Stammfunktion der Funktion bezeichnet. Addiert oder subtrahiert man zu eine beliebige Zahl, erhält man wieder eine Stammfunktion von . Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie mithilfe von unbestimmten Integralen bestimmte Integrale berechnet werden können.
Insoweit sind Integration und Differentiation Umkehrungen voneinander. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen aber kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels numerischer Quadratur.
mini|Was ist das Integral (Animation)
Geschichte mini|Gottfried Wilhelm Leibniz mini|Sir Isaac Newton
Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert vor Christus entwickelte Eudoxos von Knidos nach einer Idee von Antiphon die Exhaustionsmethode, die darin besteht, Verhältnisse von Flächeninhalten mittels enthaltener oder überdeckender Polygone abzuschätzen. Er konnte durch diese Methode sowohl Flächeninhalte als auch Volumina einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes (287–212 v. Chr.) verbesserte diesen Ansatz, und so gelang ihm die exakte Bestimmung des Flächeninhalts einer von einem Parabelbogen und einer Sekante begrenzten Fläche ohne Rückgriff auf den Grenzwertbegriff, der damals noch nicht vorhanden war; dieses Ergebnis lässt sich leicht in das heute bekannte Integral einer quadratischen Funktion umformen. Zudem schätzte er das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu dessen Durchmesser, also die Kreiszahl , als Wert zwischen und ab.
Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle parallelen ebenen Schnittflächen den gleichen Flächeninhalt haben. Johannes Kepler benutzte in seinem Werk Astronomia Nova (1609) bei der Berechnung der Marsbahn Methoden, die heute als numerische Integration bezeichnet würden. Er versuchte ab 1612, den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die Stereometria Doliorum Vinariorum („Stereometrie der Weinfässer“), später auch als keplersche Fassregel bekannt.
Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung; zum Integralzeichen und dessen Geschichte siehe Integralzeichen). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann I Bernoulli Privatunterricht nahm und darin dessen Forschung zur Analysis publizierte. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli zurück.
Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte Augustin-Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an mathematische Strenge genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.
Integral für kompakte Intervalle „Kompakt“ bedeutet hier beschränkt und abgeschlossen, es werden also nur Funktionen auf Intervallen der Form betrachtet. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.
Motivation Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall , deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).
Datei:Integral 1.svg: Datei:Integral 2.svg: Datei:Integral 3.svg
Der Flächeninhalt der grauen Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der grauen Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die begrenzt wird von dem Graphen einer Funktion, zwei vertikalen Geraden und sowie der -Achse.
Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung: , gelesen als Integral von bis von von , . Das Symbol steht für das Differential auf der -Achse und gibt an, dass die Integrationsvariable ist, was vor allem bei Funktionen mit mehreren infragekommenden Symbolen von Variablen wichtig ist. Statt kann die Integrationsvariable im Differential und in der Funktion auch durch ein beliebiges anderes Symbol bezeichnet werden, abgesehen von denen für die Grenzen und , zum Beispiel mit oder . Der Wert des Integrals wird dadurch nicht geändert.
Integrale negativer Funktionen Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der -Achse um ein Stück , so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:
Datei:Integral 2.svg: Datei:Integral 4.svg
Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite und der Höhe , in Formeln
Betrachtet man eine stetige Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein finden, sodass die Werte im Intervall alle positiv sind ( muss größer als der Betrag des Minimums von in sein). Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man rechts|Integral über eine negative Funktion und Verschiebung ins Positive
das heißt, das Integral von ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der -Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem orientierten bzw. gerichteten Flächeninhalt.
Wenn eine oder mehrere Nullstellen im zu untersuchenden Intervall vorliegen, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern die Summe aus den (positiven) Flächeninhalten der Teilflächen oberhalb der -Achse und den (negativen) Flächeninhalten der Teilflächen unterhalb der -Achse. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen -Achse und Graph der Funktion, muss das Integral an den Nullstellen aufgeteilt werden.
Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals
Axiomatischer Zugang Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Laufe der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im Folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.
Es seien reelle Zahlen, und es sei ein Vektorraum von Funktionen , der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung
geschrieben
mit den folgenden Eigenschaften: Linearität: Für Funktionen und gilt , . Monotonie: Ist für alle , so ist
Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalls: Ist ein Intervall und ist
so ist
gleich der Länge des Intervalls .
Bezeichnungen Die reellen Zahlen und heißen Integrationsgrenzen. Sie können oberhalb und unterhalb des Integralzeichens oder seitlich vom Integralzeichen geschrieben werden: oder Die zu integrierende Funktion heißt Integrand. Die Variable heißt Integrationsvariable. Ist die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über . Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt
kann man genauso gut oder schreiben. In dem obigen Beispiel führt es zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten, wenn man die Buchstaben oder verwendet, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren. Daher sollte man darauf achten, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist. Der Bestandteil wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Daher wird hier nicht versucht, ihn zu definieren. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.
Herkunft der Notation Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterstbeschreiber der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ∫ ist aus dem Buchstaben langes s (ſ) für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation deutet an, wie sich das Integral – dem Riemann-Integral folgend – aus Streifen der Höhe und der infinitesimalen Breite zusammensetzt.
Alternative Schreibweise in der Physik In der theoretischen Physik wird aus pragmatischen Gründen oft eine leicht andere Schreibweise für Integrale benutzt (vor allem bei Mehrfachintegralen). Dort wird statt
oft
geschrieben, manchmal werden an verschiedenen Stellen sogar beide Schreibweisen benutzt.
Die zweite Schreibweise hat den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion nicht mehr durch und eingeklammert wird. Zudem können Missverständnisse zum Beispiel beim Lebesgue-Integral auftreten. Die alternative Schreibweise hat jedoch auch einige Vorzüge: Der Ausdruck hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt. Oft tauchen in der Physik Integrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist, oder es wird über mehrere Unbekannte integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher. Die Kommutativität der Produkte bei den in der Riemann’schen Näherung auftretenden Summanden wird betont.
Beispiel:
statt
Einfache Folgerungen aus den Axiomen Ist für alle , so ist
Bezeichnet man mit die Supremumsnorm von auf , so gilt
Ist für alle mit einer festen Zahl , so gilt