Eine vollständige algebraische Varietät ist in der algebraischen Geometrie das Analogon zu einer kompakten Mannigfaltigkeit in der Differentialgeometrie. Eine algebraische Varietät ist also vollständig, wenn sie gewisse „kompakte“ Eigenschaften hat.

Definition Sei eine algebraische Varietät, sodass für alle Varietäten die Projektion bezüglich der Zariski-Topologie eine abgeschlossene Abbildung ist, das heißt für eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge ist auch abgeschlossen. Dann heißt vollständig.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.14 DefinitionHumphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1

Beispiele Das wichtigste Beispiel vollständiger Varietäten sind projektive Varietäten.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.25 KorollarHumphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.2 Theorem Affine Varietäten sind hingegen nur dann vollständig, wenn sie endlich sind.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.19 KorollarHumphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1 Proposition, (e) Mit größerem Aufwand lassen sich auch Beispiele von nicht projektiven vollständigen Varietäten konstruieren. Beispiele sind etwa singuläre nicht-projektive vollständige FlächenMasayoshi Nagata: On the imbeddings of abstract surfaces in projective varieties. Mem. College Sci. Univ. Kyoto Ser. A Math. 30 (1957), no. 3, 231--235.Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Ex. II.7.13, Ex. III.5.9 oder glatte vollständige nicht-projektive dreidimensionale Varietäten.Heisuke Hironaka: On the theory of birational blowing-up. Harvard 1960.Masayoshi Nagata: Existence theorems for nonprojective complete algebraic varieties. Illinois J. Math. 2 (1958) 490–498.Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Appendix B, Example 3.4.1

Vererbung der Vollständigkeit Die Eigenschaft der Vollständigkeit bleibt unter gewissen Konstruktionen erhalten. So gilt etwa: Abgeschlossene Untervarietäten vollständiger Varietäten sind vollständig. Vollständige Untervarietäten von Varietäten sind abgeschlossen. Produkte vollständiger Varietäten sind vollständig. Bilder von vollständigen Varietäten unter Morphismen sind abgeschlossen und vollständig.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.17 LemmaHumphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1 Proposition

Eigenschaften vollständiger Varietäten Reguläre Funktionen vollständiger Varietäten Die regulären Funktionen zusammenhängender vollständiger Varietäten sind gerade die konstanten Funktionen.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.19 Korollar, 1)

Vollständigkeit erzwingt teilweise Projektivität Vollständige quasiprojektive Varietäten, vollständige Kurven und glatte vollständige Flächen sind projektive Varietäten.Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1 Proposition (f)Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Ex. III.5.8Oscar Zariski: Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of Algebraic Surfaces. American Journal of Mathematics Vol. 80, No. 1 (Jan., 1958), 146-184

Satz von Nagata Auf Masayoshi Nagata geht das folgende Einbettungsresultat zurück:

Jede Varietät kann als offene Teilmenge dicht in eine vollständige Varietät eingebettet werden.Masayoshi Nagata: Imbedding of an abstract variety in a complete variety. Journal of Mathematics of Kyoto University (2) 1962, 1-10. Masayoshi Nagata: A generalization of the imbedding problem of an abstract variety in a complete variety. Journal of Mathematics of Kyoto University (3) 1963, 89-102.

Borelscher Fixpunktsatz Für die Theorie algebraischer Gruppen ist der folgende Fixpunktsatz relevant:

Operiert eine zusammenhängende auflösbare algebraische Gruppe auf einer vollständigen nichtleeren Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, so existiert ein Fixpunkt.Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 21.2 Fixed Point TheoremArmand Borel: Groupes Lineaires Algebriques. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 64, No. 1 (Jul., 1956), 20-82

Ähnliche Begriffe Zusammenhang mit Kompaktheit Mit der folgenden Charakterisierung der Kompaktheit eines Hausdorffraums wird der Zusammenhang zur Vollständigkeit einer algebraischen Varietät deutlich:

Ein Hausdorffraum ist genau dann kompakt, wenn für alle topologischen Räume die Projektion bezüglich der Produkttopologie auf eine abgeschlossene Abbildung ist.Nicolas Bourbaki: General Topology I. 10.2, Corollary 1 zu Theorem 1

Zusammenhang mit eigentlichen Morphismen Die den vollständigen Varietäten entsprechenden Morphismen sind die eigentlichen Morphismen.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 13 Einleitung Daher werden vollständige Varietäten zum Teil auch als eigentliche Varietäten bezeichnet.Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, S. 105 Definition So ist jeder Morphismus, der auf einer vollständigen Varietät definiert ist, ein eigentlicher Morphismus und eine Varietät ist gerade dann vollständig, wenn der konstante Morphismus von der Varietät auf einen Punkt ein eigentlicher Morphismus ist.Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 13.4 Bemerkung

Literatur James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7, 6. Complete Varieties. Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, II.4 Separated and Proper Morphisms. Karl-Heinz Fieseler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3, 5. Projektiv algebraische Varietäten.

Einzelnachweise

Kategorie:Algebraische Varietät