Der Satz von Burnside ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie und besagt, dass Gruppen bestimmter Ordnung automatisch auflösbar sind.
Formulierung Eine endliche Gruppe der Ordnung , wobei und Primzahlen und und ganze Zahlen größer gleich 0 sind, ist auflösbar.
Daher hat jede nichtabelsche endliche einfache Gruppe eine durch mindestens drei verschiedene Primzahlen teilbare Ordnung.
Geschichte Der Satz wurde 1904 von William Burnside mittels Darstellungstheorie von Gruppen bewiesen.William Burnside: On Groups of Order pαqβ. In: Proc. London Math. Soc. 1904, S. 388–392. Einige Teilergebnisse waren zuvor von Burnside, Camille Jordan und Ferdinand Georg Frobenius erzielt worden. John Griggs Thompson hat dann auf einen möglichen Beweisgang hingewiesen, der die Verwendung von Darstellungstheorie vermeidet und aus seiner Arbeit über N-Gruppen gewonnen werden könne. Das ist dann von David Goldschmidt für Gruppen ungerader OrdnungD. M. Goldschmidt: A group theoretic proof of the paqb theorem for odd primes. In: Mathematische Zeitschrift. Band 11, 1970, S. 373–375. und von Helmut Bender für Gruppen gerader OrdnungHelmut Bender: A group theoretic proof of Burnside's paqb-theorem. In: Mathematische Zeitschrift. Band 126, 1972, S. 327–338. ausgeführt worden. Matsuyama hat diese Beweise weiter vereinfacht.H. Matsuyama: Solvability of groups of order 2aqb. In: Osaka J. Math. Band 10, 1973, S. 375–378.
Skizze des Beweises von Burnside Die folgende Beweisskizze muss in dieser Kürze lückenhaft bleiben, vermittelt aber einen Eindruck über die verwendeten Methoden. Eine deutschsprachige Ausarbeitung dieses Beweises findet sich im unten angegebenen Lehrbuch von Meyberg.K. Meyberg: Algebra Teil 2, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 9.7.2: papb-Satz von Burnside. Ist ein irreduzibler komplexer Charakter einer endlichen Gruppe , so ist ganz über , wobei ein Element der Konjugationsklasse sei. Sind und teilerfremd, so zeigt man unter Benutzung von 1), dass entweder 0 ist oder den Absolutbetrag hat. Mittels 2) ergibt sich, dass eine endliche Gruppe nicht einfach sein kann, wenn sie eine nicht-triviale Konjugationsklasse der Mächtigkeit hat. Nach den Orthogonalitätsrelationen muss es einen nicht-trivialen Charakter mit zu teilerfremdem Grad geben, dessen Wert zu teilerfremd ist. Nach 2) hat den Absolutbetrag , was zur Folge hat, dass unter der zu gehörigen irreduziblen Darstellung auf ein Vielfaches des identischen Operators abgebildet wird. Die irreduzible Darstellung ist damit nicht-trivial und eindimensional, weshalb der Kern ein nicht-trivialer Normalteiler ist. Die Klassengleichung zeigt nun, dass eine Gruppe der Ordnung eine nicht-triviale zu teilerfremde Konjugationsklasse hat, die also dann von der Größe für ein sein muss. Nach dem vorangegangenen Schritt folgt, dass nicht einfach sein kann. Induktion über die Gruppenordnung zeigt schließlich, dass jede Gruppe solcher Ordnung nicht-triviale Normalteiler hat und daher die Gruppe auflösbar sein muss.
Kleinste nicht-auflösbare Gruppe Nach einem weiteren, einfacheren Satz ist jede Gruppe, deren Ordnung das Produkt dreier Primzahlen ist, ebenfalls auflösbar.B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kap. I, §8, Satz 8.13. Zusammen mit dem Satz von Burnside muss die Ordnung einer nicht-auflösbaren Gruppe daher das Produkt von mindestens vier Primzahlen sein, von denen drei untereinander verschieden sind, das heißt die kleinstmögliche Ordnung ist . Die Gruppe A5 zeigt, dass es tatsächlich eine nicht-auflösbare Gruppe der Ordnung 60 gibt.
Einzelnachweise
Kategorie:Theorie endlicher Gruppen Burnside, Satz von