Perspektive Zuordnung ist ein Begriff aus der projektiven Geometrie und bezeichnet in einer projektiven Ebene eine besondere Beziehung zwischen eindimensionalen Grundgebilden, also einer Punktreihe (alle Punkte einer Gerade) oder einem Geradenbüschel (alle Geraden durch einen festen Punkt).
Im einfachsten Fall stellt die Projektion einer Punktreihe auf eine andere von einem Punkt aus eine perspektive Zuordnung zweier Punktreihen dar. Es kann aber auch ein Geradenbüschel einer Punktreihe zugeordnet werden. Perspektive Zuordnungen können unter hinreichenden Bedingungen zu Perspektivitäten (Kollineationen) der projektiven Ebene fortgesetzt werden.
Eine projektive Zuordnung zwischen zwei Grundgebilden ist die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Zuordnungen. Sind zwei Grundgebilde durch perspektive oder projektive Zuordnung einander zugeordnet, so sagt man auch, sie befinden sich in perspektiver Lage bzw. projektiver Lage.
Die Bedeutung perspektiver bzw. projektiver Zuordnungen zeigt sich im Hauptsatz der projektiven Geometrie und dem Satz von Steiner über die Erzeugung eines Kegelschnitts.
Punktreihe und Geradenbüschel in perspektiver Lage mini|300px|Die Punkte auf und die Geraden durch sind einander perspektiv zugeordnet Die geometrisch einfachste perspektive Zuordnung von eindimensionalen Gebilden in einer projektiven Ebene ist die Zuordnung zwischen einer Punktreihe, das heißt der Punktmenge einer Geraden in der Ebene und einem Geradenbüschel der gleichen Ebene, das heißt der Menge der Geraden durch einen festen Punkt der Ebene, der nicht mit inzidiert. Die Zuordnung lässt sich formal so definieren:
Das heißt: Jedem Punkt auf wird die Verbindungsgerade zugeordnet, vergleiche die Abbildung rechts oben. Die Zuordnung ist allein aufgrund der Inzidenzaxiome für projektive Ebenen wohldefiniert und bijektiv. Damit zeigt sich: In einer projektiven Ebene ist jede projektive Punktreihe als Inzidenzstruktur bezeichnet die auf die Punktreihe von eingeschränkte Inzidenzrelation. isomorph zu der Inzidenzstruktur, die durch die Büschelstruktur gegeben ist, sofern nicht auf liegt. Dass diese letzte Bedingung fortgelassen werden kann, sieht man durch mehrmaliges perspektives Zuordnen. Daraus ergibt sich: In jeder projektiven Ebene sind alle Punktreihen inzidenzisomorph zueinander und zu allen Geradenbüscheln. Insbesondere sind die „Punktmengen“ dieser Strukturen gleichmächtig. Das bedeutet konkret für endliche Ebenen: Jede Gerade enthält gleich viele Punkte , jedes Büschel gleich viele Geraden und es ist . Das heißt: Jede endliche Ebene ist ein symmetrischer -Blockplan.Für die Parameter in der Bezeichnung wendet man für das Inzidenzaxiom an: Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Für die Gesamtpunktzahl zählt man von einem Punkt aus alle Punkte auf allen Büschelgeraden durch . Diese Zahl ist . Dabei hat man selbst zunächst mehrfach, nämlich -mal gezählt und zieht deshalb von dem Produkt ab. Beutelspacher und Rosenbaum (2004) Die Zahl ist hier die Ordnung der endlichen Ebene. In jeder papposschen Ebene existiert eine Korrelation der Ebene in ihre (im Sinne der Inzidenzstruktur) duale Ebene , die die Zuordnung fortsetzt. In jeder desarguesschen projektiven Ebene lässt sich durch die Zuordnung ein auf einer Punktreihe definiertes Doppelverhältnis auf Punktbüschel übertragen und umgekehrt.Dafür ist es nicht notwendig, dass sich die perspektive Zuordnung zu einer Korrelation der gesamten Ebene auf ihre duale Ebene fortsetzen lässt. In jeder angeordneten Ebene lässt sich die Anordnung einer Punktreihe durch die Zuordnung auf ein Punktbüschel übertragen und umgekehrt. In jeder topologischen projektiven Ebene sind Punktbüschel und Punktreihen homöomorph.
Zwei Punktreihen in perspektiver Lage mini|Das Punktetripel der Punktreihe auf liegt vom Zentrum aus perspektiv zu dem Punktetripel der Punktreihe auf Wenn man eine perspektive Zuordnung der Punktreihe auf einer Geraden auf das Punktbüschel der Geraden durch einen Punkt mit einer solchen vom gleichen Punktbüschel auf die Punktreihe einer anderen Geraden zusammensetzt, dann erhält man eine perspektive Zuordnung zwischen den Punktreihen von und . Voraussetzung ist, dass das gemeinsame Zentrum auf keiner der beiden Geraden liegt:
Man kann diese Zuordnung auch selbständig definieren:
Einem Punkt wird also der Schnittpunkt der Verbindungsgeraden mit der Geraden zugeordnet. Die zweite Definition ist vorzuziehen, weil die zentralperspektive Zuordnung vom Punkt aus abbildungstheoretisch einfacher (keine Dualität!) ist und sich unter schwächeren Bedingungen fortsetzen lässt: mini|Kreuzlinienkonstruktion in einer desarguesschen Ebene In einer desarguesschen Ebene existiert wenigstens eine Projektivität, die fortsetzt. Sie kann als Perspektivität mit dem Zentrum gewählt werden und ihre Achse kann, falls die Ebene auch noch dem Fano-Axiom genügt, aus zwei verschiedenen Punkt-Bildpunktpaare konstruiert werden, wenn darunter nicht der Schnittpunkt ist, der durch sich selbst zugeordnet wird , vergleiche auch die Abbildung rechts: Das (einzig mögliche) Zentrum für die Perspektivität ergibt sich als Schnittpunkt der zwei Spuren . Einen Fixpunkt , also einen Punkt auf der Achse bestimmt man als Schnittpunkt der Urbildgeraden mit ihrer Bildgeraden , also . Aus zwei Punkt-Bildpunkt-Paaren ergibt sich ein zweiter Punkt der Achse, indem man sie, wie in der Abbildung gezeigt, „kreuzweise“ verbindet (die Strecken usw. in der Abbildung). Beachte dazu, dass die farblich hervorgehobenen Dreiecke von aus zentral-perspektiv liegen und dass die nach dem desarguesschen Satz existierende Achse für diese Konfiguration ist: Die Schnittpunkte zugeordneter Dreiecksseiten sind gerade die zwei im Bild gezeigten „Kreuzschnittpunkte“ und der oben beschriebene Fixpunkt .Betrachtet man zwei Kreuzschnittkonfigurationen und die Dreiecke isoliert, dann hat man auch eine Pappuskonfiguration, aber dadurch, dass die Tripel perspektiv zueinander liegen, greift der desarguessche Satz. Kadison und Kromann (1996), chapter 6:The Fundamental theorem for perspectivities on a line In einer beliebigen projektiven Ebene ist zu einer Kollineation der Gesamtebene fortsetzbar, wenn in der Lenz-Barlotti-Figur der Ebene zu einem Paar mit gehört. Die Kollineation braucht nicht eindeutig bestimmt zu sein, es gibt aber dann, falls die Ebene das Fano-Axiom erfüllt, auch eine Projektivität, die die Zuordnung fortsetzt, eine Perspektivität mit Zentrum .
Man kann die (zentral-)perspektive Zuordnung zwischen zwei projektiven Geraden auch affin spezialisieren: Ist ein Fernpunkt, dann induziert auf den affinen Teilmengen der Punktreihen von eine bijektive Parallelprojektion. Diese Parallelprojektionen spielen in der synthetischen affinen Geometrie eine ähnlich zentrale Rolle, wie die Perspektivitäten in der projektiven.
NotationNach Coxeter (1955) S. 27. Die Notation geht laut Coxeter auf zurück. Die Tatsache, dass eine geordnete Menge von kollinearen Punkten perspektiv zu einer gleichartigen geordneten Menge liegt, kann man zur Definition einer Relation auf der Menge aller -Tupel von kollinearen Punkten verwenden. Diese Relation wird (im Beispiel der Abbildung rechts oben) als usw. notiert oder auch genauer, mit dem vermittelnden Zentrum über dem Relationensymbol als
notiert. Gilt dann etwa mit (nicht unbedingt verschiedenen) Zentren , dann schreibt man . Wenn man diese Relation entsprechend transitiv fortsetzt (über endlich vieleIn beliebigen Ebenen genügen, wenn es über endlich viele Zentren möglich ist, dafür bereits höchstens 4 vermittelnde Zentren, in desarguesschen Ebenen drei, wenn die Punktetupel auf der gleichen Gerade liegen, sonst zwei. Pickert (1975) statt nur zwei vermittelnde Zentren) dann ist die Relation in und in jeder Teilmenge eine Äquivalenzrelation. Man sagt dann von den Punkten sie sind aufeinander projektiv bezogen oder auch sie liegen zueinander projektiv. Man beachte: Für die perspektive Lage zueinander (Relation ) und die projektive Lage (Relation ) zueinander von Punkten kommt es auf die Reihenfolge beider Punktmengen an! Die hier verwendete Tupelschreibweise, die dies formal absichert, wird in der Literatur meistens nicht (konsequent)Etwa auch bei Coxeter (1955)! verwendet. Es muss im Allgemeinen für zwei -Tupel, die perspektiv oder projektiv aufeinander bezogen sind, keine Kollineation existieren, die das eine Tupel auf das andere abbildet! Existiert eine solche Kollineation, dann existiert aber auch eine Projektivität mit dieser Eigenschaft. Dies ist für projektiv aufeinander bezogene -Tupel über einer desarguesschen Ebene immer der Fall, und über jeder Ebene trivialerweise, wenn die beiden Tupel identisch sind. Jedes Tupel aus liegt offenbar projektiv zu sich selbst, meist wird vereinbart,Coxeter (1955), S. 28. dass ein solches Tupel sogar perspektiv zu sich selbst liegen soll, das vermittelnde Zentrum außerhalb der Trägergeraden ist dann beliebig. Da die Identität eine Projektivität ist, existiert mit ihr auch eine fortsetzende Kollineation, dies kann aber höchstens für eine Ebene der Lenz-Barlotti-Klasse I.1 die einzige Fortsetzung sein. Die hier erläuterte moderne Notation für Sprechweisen des 19. Jahrhunderts ist durch die Sprache der modernen Mengenlehre im Grunde ein überflüssiger Formalismus: Die durch gegebene bijektive Abbildung ist selbst eine Relation, man kann die Punktreihe von selbst als Zählmenge verwenden, wobei man sie, falls nötig, mit einer Wohlordnung ausstattet, und damit jede beliebige, auch unendliche Teilmenge der Punktreihe von korrekt „nummerieren“. Für die einander projektiv zugeordneten Punktreihen, die also in der -Relation zueinander stehen, gilt das Gleiche.
Zwei Geradenbüschel in perspektiver Lage mini|Die Geraden durch liegen perspektiv zu den Geraden durch in Bezug auf die Achse . Für die im Bild gezeichneten roten Geraden wird das als notiert. Dual zur perspektiven Zuordnung zweier Punktreihen von einem Zentrum aus ist die perspektive Lage zweier Geradenbüschel (mit den Punkten als Trägern) von einer Achse aus definiert. Die Achse darf in keinem der zugeordneten Büschel liegen, darf also keinen der Punkte enthalten.
Selbständige Definition: Das Pluszeichen zwischen Punkten wird hier nach Pickert (1975) so verstanden, dass die Summe der Punkte deren Verbindungsgerade darstellt. Im desarguesschen Fall handelt es sich im Standardmodell tatsächlich um die Summe zweier Unterräume eines (Links-)Vektorraums. Für diese (axial-)perspektive Zuordnung des Geradenbüschels durch zu dem Geradenbüschel durch von der Achse aus gelten die zu den Aussagen des vorigen Absatzes dualen Aussagen.
Die Relations-Notation (Relation ) und eine transitive Fortsetzung (Relation ) zwischen -Tupeln von Geraden aus je einem Punktbüschel wird analog zu der oben für Punkttupel beschriebenen vereinbart, die Sprechweisen sind ebenfalls analog: Tripel mit liegen (von der Achse aus) perspektiv zueinander, sind also auch projektiv aufeinander bezogen usw.
Punktreihe und Kegelschnitt oder Oval in perspektiver Lage mini|In einer papposschen projektiven Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, kann jeder nichtausgeartete Kegelschnitt, in der Abbildung ein Kreis, perspektiv und bijektiv auf eine Punktreihe einer Geraden bezogen werden, die nicht mit dem Zentrum inzidiert. Als Bildgerade wurde für diese Abbildung die dem Zentrum „gegenüberliegende“ Tangente gewählt. Dies ist keine wesentliche Voraussetzung: Wählt man eine beliebige andere Gerade , die nicht das Zentrum enthält, dann kann auch auf einen eigentlichen Punkt abgebildet werden, wobei die Tangente an in ist.