Der Kretschmann-Skalar (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.
Definition Der Kretschmann-Skalar ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als
. Hierbei bezeichnet den Riemannschen Krümmungstensor und .
Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor , den Ricci-Tensor sowie den Ricci-Skalar wie folgt ausgedrückt werden:Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
Beispiele Kretschmann-Skalar der Schwarzschild-Metrik Für die Schwarzschild-Metrik
mit der Zeitkoordinate , den Kugelkoordinaten und dem Schwarzschild-Radius ist der Kretschmann-SkalarSebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225. mit dem Schwarzschild-Radius gegeben durch:
Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius völlig harmlos. Die Divergenz von bei zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt. Kretschmann-Skalar der Kerr-Metrik Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse und des Drehimpulses lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter in Boyer-Lindquist Koordinaten mit
mit den Größen , und . Dabei ist der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius . Dann ist der Kretschmann-Skalar
Der Kretschmann-Skalar geht für die verschwindende Rotation über in !
hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei
Bei dieser Singularität wird . In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten und gilt
Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius , der in der --Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für und diskutieren Stephen Hawking und George Ellis.
Die Größe ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar vorkommt.
Einzelnachweise
Kategorie:Riemannsche Geometrie Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie