Die Zerlegungsmethode von Pelczynski ist ein mathematischer Satz, der für Existenzbeweise von Isomorphismen zwischen zwei Banachräumen verwendet wird. Der Satz wurde 1960 vom polnischen Mathematiker Aleksander Pełczyński bewiesen.A. Pełczyński: Projections in certain Banach Spaces, Studia Math. (1960), Band 19, Seiten 209–228.
Formulierung Seien und zwei Banachräume derart, dass isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum des Raumes und wiederum isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ist. Ferner sei eine der folgenden Bedingungen erfüllt:
a) und ,
b) für ein gewisses oder .
Dann ist der Raum isomorph zu .F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Seiten 34–36
Die obigen Symbole und bezeichnen die ℓp-Summe beziehungsweise c0-Summe abzählbar vieler Kopien des Raumes .
Beweis Sei und für gewisse Banachräume und . Unter der Voraussetzung a) existieren Isomorphismen
und genauso , insgesamt also
Unter der Voraussetzung b) gilt insbesondere und damit . Also gilt . Ein analoger Beweis ergibt sich für .
Anwendungsbeispiele Unter Verwendung der Zerlegungsmethode von Pelczynski kann man zeigen, dass jeder unendlichdimensionale, komplementierte Unterbanachraum von oder zum Ausgangsraum isomorph ist.F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Theorem 2.2.4 Mittels der Zerlegungsmethode von Pelczynski kann man beweisen, dass die Banachräume und L∞([0,1]) isomorph sindA. Pełczyński: On the isomorphism of the spaces m and M, Bull. Acad. Pol. Sci. (1958), Band 6, Seiten 695–696, sie sind jedoch nicht isometrisch isomorph.
Bemerkungen Timothy Gowers hat gezeigt, dass es ein Paar von Banachräumen und gibt, so dass isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von und isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ist, die Räume und dagegen nicht isomorph sind. Auf zusätzliche Voraussetzungen wie a) oder b) kann in obigem Satz also nicht verzichtet werden. Das ist die negative Lösung des sogenannten Schröder-Bernstein-Problems für Banachräume.W. T. Gowers: A solution to the Schroeder-Bernstein problem for Banach spaces, Bull. London Math. Soc. (1996), Band 28, Seiten 297–304 Piotr Koszmider hat ein Paar total unzusammenhängender kompakter Räume und konstruiert, so dass isometrisch isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ist und umgekehrt, aber die Banachräume und nicht isomorph sind.P. Koszmider: A C(K) Banach space which does not have the Schroeder-Bernstein property, Studia Math. (2012), Band 212, Seiten 95–117, . Valentin Ferenczi und Elói Medina Galego haben ein Kontinuum von paarweise nicht-isomorphen Banachräumen konstruiert, so dass für jedes Paar und aus dieser Klasse isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von und isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ist.V. Ferenczi, E. M. Galego: , Canad. J. Math. (2007), Band 591, Seiten 63–84. In der Literatur finden sich weitere Verallgemeinerungen der Zerlegungsmethode von Pelczynski.E.M. Galego: Generalizations of Pełczyński’s decomposition method for Banach spaces containing a complemented copy of their squares, Archiv der Mathematik (2008), Band 90-6, Seiten 530–536. doi:10.1007/s00013-008-2568-1E.M. Galego: Towards a maximal extension of Pełczyński’s decomposition method in Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2009), Band 356-1, Seiten 86–95.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Pelczynski, Zerlegungsmethode von