Die Arcsin-Verteilung, auch Arkussinus-Verteilung genannt, ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist ein Spezialfall der Beta-Verteilung mit den Parametern und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der brownschen Bewegung.
Definition Die Arcsin-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf . Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion
und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion .
Eigenschaften Es sei eine arcsin-verteilte Zufallsvariable.
Erwartungswert und Varianz Der Erwartungswert ergibt sich zu
und die Varianz zu .
Symmetrie Die Arcsin-Verteilung ist symmetrisch um 0,5.
Arcsin-Gesetze Es gibt eine Vielzahl von Arcsin-Gesetzen. Veröffentlichungen dazu stammen unter anderem von Paul Lévy, Paul Erdős, Mark Kac und Erik Sparre Andersen. Nach ihnen sind die Arcsin-Gesetze zum Teil benannt.
Die folgenden Arcsin-Gesetze treffen Aussagen über die Dauer, wie lange sich ein stochastischer Prozess im positiven Bereich aufhält. Es können stattdessen auch die Abbildungen: frühester Zeitpunkt eines Maximums und dem Zeitpunkt, wann zum letzten Mal der Ursprung gekreuzt wird betrachtet werden, wobei dann gegebenenfalls weitere Annahmen getroffen werden müssen.
Arcsin-Gesetz von Paul Lévy Die Zeitlängen, die ein eindimensionaler Standard-Wiener-Prozess positiv ist, sind arcsin-verteilt. Das heißt für , gilt , wobei das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.
Arcsin-Gesetz von Paul Erdős und Mark Kac Sei eine Folge von eindimensionalen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen. Weiter wird angenommen, dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die fortlaufenden Anzahlen der Summen , die positiv sind, sind definiert durch . Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung . Die Annahmen können variiert werden, sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin für gilt.
Arcsin-Gesetz von Erik Sparre Andersen Sei eine Folge von Zufallsvariablen. Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezüglich s-Permutationen. Eine s-Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten. Dann gilt analog zum Arcsin-Gesetz von Erdős und Kac für die Summen und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen die folgende Konvergenz in Verteilung .
Diskrete Arcsin-Verteilung 350px|mini|Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Arcsin-Verteilung, wobei einem Parameter und einer Ausprägung entspricht. In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die sogenannte diskrete Arcsin-Verteilung von Bedeutung ist. Diese ist für jeden Parameter durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion
und ihre Verteilungsfunktion
definiert.
Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin-Verteilung begründet, so gilt die gleichmäßige Konvergenz .
Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin-Gesetz.
Arcsin-Gesetz von Deshouillers-Dress-Tenenbaum
In der probabilistischen Zahlentheorie zeigten Jean-Marc Deshouillers, François Dress und Gérald Tenenbaum dass die Summe von Verteilungsfunktionen von logarithmischen Verhältnissen von Teilern zu deren Vielfaches einem Arcsin-Gesetz folgt.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Paul Lévy