Der Satz von Vitali-Hahn-Saks ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Er geht auf Giuseppe VitaliG. Vitali: Sull’integrazione per serie, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1907), Band 23, Seiten 137–155, Hans HahnH. Hahn: Über Folgen linearer Operationen, Monatshefte für Mathematik und Physik (1922), Band 32, Seiten 3–88 und Stanisław SaksS. Saks: Addition to the Note on Some Functionals, Transactions of the American Mathematical Society (1933), Band 35, Seiten 965–970 zurück und besagt im Wesentlichen, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein solches ist.
Erste Formulierung des Satzes Es sei ein Maßraum und darauf eine Folge von endlichen signierten Maßen, so dass für jede messbare Menge konvergiert. Weiter sei ein endliches Maß auf , so dass jedes absolut stetig gegen ist. Dann definiert die Formel ein signiertes Maß auf , das ebenfalls absolut stetig gegen ist.Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.3J. L. Doob: Measure Theory, Kapitel IX, Absatz 10: Vitali-Hahn-Saks-theorem
Der besondere Inhalt dieses Satzes besteht darin, dass sich die σ-Additivität der auf überträgt und dass die Absolutstetigkeit gegen erhalten bleibt. Von der Voraussetzung über die Existenz von kann man sich befreien, denn für jede Folge ist durch ein Maß definiert, gegen das jedes absolutstetig ist. Dabei sind und die Variation bzw. Totalvariationsnorm von . Daher kann man obigen Satz auch ohne die Erwähnung der Absolutstetigkeit formulieren und erhält den folgenden auch als Konvergenzsatz von Nikodým bekannten Satz:
Zweite Formulierung des Satzes Es sei ein Maßraum und darauf eine Folge von endlichen signierten Maßen, so dass für jede messbare Menge konvergiert und endlich ist. Dann definiert die Formel ein signiertes Maß auf .Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.4
Diese Version ist schwächer, da sie nicht mehr die Erhaltung der Absolutstetigkeit gegen ein weiteres Maß enthält. Man beachte, dass auf die Endlichkeit der nicht ohne Weiteres verzichtet werden kann, wie folgendes Beispiel zeigt. Sei und die borelsche σ-Algebra auf . Für , definiere falls , andernfalls definiere . Dann gilt falls nicht nach oben beschränkt ist. Andernfalls gilt . ist kein Maß, da sowohl aber auch gelten müsste.
Anwendungen Der Raum der signierten Maße auf einem Maßraum ist ein Vektorraum , der mit der Totalvariation als Norm ein Banachraum wird. Eine wichtige Anwendung des Satzes von Vitali-Hahn-Saks besteht darin, die relativ schwach kompakten Mengen in als genau diejenigen beschränkten Mengen zu charakterisieren, die gleichmäßig absolutstetig gegen ein endliches Maß sind.Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.7 Als weitere Anwendung ergibt sich, dass schwach folgenvollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge des in der schwachen Topologie uniformen Raums schwach konvergiert.Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.5
Einzelnachweise
Kategorie:Maßtheorie VitaliHahnSaks