Der Satz von Mourier ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf die französische Mathematikerin Édith Mourier zurück und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des starken Gesetzes der großen Zahlen für gewisse Folgen von Zufallselementen in einem separablen Banachraum über dem Körper der reellen Zahlen. Der Satz lässt sich als Verallgemeinerung des zweiten kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen auffassen.
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich angeben wie folgt:P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 337–338R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 452–454Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen. 1968, S. 146–147 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum , ein separabler -Banachraum und eine Folge
von Zufallselementen in .
Die Folge sei stochastisch unabhängig und ihre Glieder seien identisch verteilt.
Dabei gelte .
Dann gilt -fast sicher die Konvergenz .
Erläuterungen Eine Borel-messbare Zufallsvariable mit Werten in einem topologischen Raum wird allgemein als Zufallselement bezeichnet. Bei einem Zufallselement mit Werten in einem separablen normierten -Vektorraum wird mit stets dessen Erwartungswert bezeichnet, sofern dieser definiert ist. Er ist zumindest immer dann definiert, wenn für das Pettis-Integral existiert. Ist dies der Fall, so ist der Erwartungswert gleich dem Pettis-Integral. Der Erwartungswert zeichnet sich dadurch aus, dass für stetige Linearformen stets gilt.P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 335 Für ein Zufallselement mit Werten in einem separablen -Banachraum ist stets eine nichtnegative reelle Zufallsvariable, für die der Erwartungswert stets existiert.R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 447 Ist dabei sogar , so existiert auch der Erwartungswert .P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 336
Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows erstem Gesetz der großen Zahlen Ausgehend von dem Satz von Mourier ergibt sich die Frage, ob und inwieweit auch Kolmogorows erstes Gesetz der großen Zahlen auf Folgen von Zufallselementen in normierten Vektorräumen auszudehnen ist. Wie sich zeigen lässt, ist diese Ausdehnung zumindest immer im Falle der separablen Hilberträume möglich. Es gilt nämlich der folgende Satz:R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 455 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum , ein separabler -Hilbertraum Hier ist die auf dem Hilbertraum durch das Skalarprodukt erzeugte Norm. und eine Folge
von Pettis-integrierbaren Zufallselementen in .
Die Folge sei stochastisch unabhängig und es gelte .Die zuletzt genannte Bedingung entspricht der aus dem Fall der reellen Zufallsvariablen bekannten Varianzbedingung.
Dann genügt die Folge der Bedingung
und damit dem starken Gesetz der großen Zahlen.
Quellen und Hintergrundliteratur MR0501219 MR0534143 MR1102015 MR0064339 MR0245080
Einzelnachweise und Fußnoten
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Mourier