Das Quantenreaktionsgleichgewicht, auch Quantal-Response-Gleichgewicht genannt ( Quantal Response Equilibrium, kurz: QRE), ist ein Begriff aus der Spieltheorie. Es beschreibt in nicht-kooperativen Spielen eine Kombination von Strategien: Jeder Spieler wählt eine Strategie, von der aus es für keinen Spieler sinnvoll ist, von seiner gewählten Strategie abzuweichen, obwohl diese nicht wissen, ob es sich um die beste der Strategien handelt, und Fehler machen. Die Strategien der Spieler sind demnach im besten Fall gegenseitig beste Antworten. Wenn die Spieler vollständig rational spielen, konvergiert das Quantenreaktionsgleichgewicht zum Nash-Gleichgewicht. Das Quantenreaktionsgleichgewicht ist ein statistisches Lösungskonzept der Spieltheorie. Definition und Existenzbeweis des Quantenreaktionsgleichgewichts gehen auf das 1995 veröffentlichte Paper Quantal Response Equilibria for Normal Form Games der Ökonomen Richard McKelvey und Thomas Palfrey zurück. Das Quantenreaktionsgleichgewicht findet unter anderem eine zentrale Bedeutung in wirtschaftswissenschaftlichen Bereichen wie der Ökonometrie und der statistischen Betrachtung inkonsistenter Spieler, zum Beispiel bei Wahlen oder dem Traveler’s Dilemma (Reisenden-Dilemma). Das Quantenreaktionsgleichgewicht ist nur für Spiele mit diskreten Strategien definiert.
Grundidee Spieler entscheiden sich für eine Strategie, von der sie nicht wissen, ob es sich um die beste aller Strategien handelt und sie machen Fehler bei der Auswahl. Sie wählen aus einem diskreten Strategienraum und stellen Vermutungen über die Wahl der Strategie des Gegenspielers an. Diese Vermutung oder Belief bewahrheitet sich in Erwartung. Im Gleichgewicht stimmen die Vermutungen über die Wahl der Strategie des Gegenspielers und die Fehler in der Auswahl sind minimal, sodass sich die Auszahlung jedes Spielers maximiert und gewährleistet, dass Fehler keine Auswirkungen auf die Strategienwahl eines Spielers haben. Bei perfekt rational handelnden Individuen decken sich statistische Vorhersagen mit der theoretischen Gleichgewichtswahl, da niemand Anreiz hat von seiner Gleichgewichtswahl abzuweichen.
Das Konzept des Quantenreaktionsgleichgewichts unterscheidet sich insofern von anderen theoretischen Gleichgewichtsvorhersagen, als dass es sich um eine statistische Prognose einer Gleichgewichtswahl aus diskreten Strategien handelt. Durch die Modellierung eines Fehlerterms kann jegliches Verhalten von Spielern vorhergesagt werden, welche Tatsache die Güte eines Gleichgewichtskonzepts einschränkt.Becker et al.: Experts Playing the Traveler’s Dilemma, Hohenheimer Diskussionsbeiträge, Nr. 252/2005, S. 13 Grundsätzlich können Aussagen des Quantenreaktionsgleichgewichts als deskriptive Gleichgewichtsvorhersage interpretiert werden.
Aufbau des Quantenreaktionsgleichgewicht in Normalform Verbale Darstellung Die strikte Annahme der perfekten Rationalität der Spieler, modelliert durch die deterministische Natur einer strategischen Spielumgebung, soll durch die Hinzunahme eines stochastischen Ausdrucks erweitert werden. Als Folge ist mögliche Inkonsistenz der Spieler möglich.Goeree, Holt, Palfrey: Quantal Response Equilibrium, Division of the Humanities and Social Sciences, S. 1. In dieser Spielumgebung lassen sich Lösungen des Gleichgewichts, wie in deterministischen Spielumgebungen nur noch in Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, da das Gleichgewicht vom stochastischen Teil und einer Wahrscheinlichkeit der deterministischen Wahl abhängt und somit immer dann ökonomisch relevant ist, wenn der Nutzen eines Spielers von der Realisierung der Zufallsvariable bestimmt wird.
Die erwartete Auszahlung eines Spielers aus unterschiedlichen Strategien hängt von den Beliefs der Spieler über die Wahl der Strategie anderer Spieler ab. Beliefs determinieren erwartete Auszahlungen, welche wiederum Auswahlmöglichkeiten und QR-Funktionen generieren. Im Gleichgewicht passen diese Beliefs zu den Gleichgewichtsauswahlmöglichkeiten.
Spieler machen „infinitesimal“McKelvey, Palfrey: Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior Vol. 10, Seite 7, Zeile 2, 1995 Fehler. Diese Änderung erlaubt es Abweichungen von perfekt rational erwarteten Spielverhalten zu beobachten und mithilfe von logistischer Regression formal zu beschreiben, welche Tatsache signifikant unterschiedliche Ergebnisse zu Nash-Gleichgewichtsvorhersagen haben kann, jedoch mit steigender Wahrscheinlichkeit beziehungsweise Wissen über die Realisierung der Zufallsvariable gegen das Nash-Gleichgewicht konvergiert.McKelvey, Palfrey: Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior Vol. 10, Seite 6–8, 1995
Das Quantenreaktionsgleichgewicht nimmt im Vergleich zum Nash-Gleichgewicht einen Unsicherheitsfaktor hinzu und macht es somit resistenter und allgemeingültiger als das deterministische Modell, da das Verhalten von „noisy players“ modelliert werden kann. Tatsächlich aber handelt es sich beim Quantenreaktionsgleichgewicht um eine Verallgemeinerung des Nash-Gleichgewichts (NGGW), die zu diesem mit sinkendem beziehungsweise mit steigender Rationalität konvergiert und sich der Beste-Antwort-Funktion annähert.Goeree, Holt, Palfrey: Quantal Response Equilibrium, Division of the Humanities and Social Sciences, S. 2.
Dies liefert einen nützlichen theoretischen Rahmen für die Beobachtung komparativ statischer Effekte von Parameterveränderungen. Es führt nicht zwingend zu Abweichungen von den Nash-Vorhersagen.
Spieler wählen nicht die beste Antwort mit Wahrscheinlichkeit 1 (wie im Nash-Gleichgewicht) Spieler wählen Antworten mit höherer erwarteter Auszahlung gewichtet mit höherer Wahrscheinlichkeit – bessere Antworten als beste Antworten Spieler haben rationale Erwartungen und nutzen wahre erwartete Fehler, wenn sie Strategien anderer Spieler interpretieren.Economics 209B , Behavioral / Experimental Game Theory: Lecture 4: Quantal Response Equilibrium (QRE), Spring 2008
In dieser Modellierung haben Spieler eine freie Auswahl nach einem Gut (hier: Strategie) und entscheiden unter stochastischem Einfluss. Sie kennen die Auswahlwahrscheinlichkeit p und schätzen diese Wahrscheinlichkeit mit steigender Erfahrung „besser“. Der deterministische Teil einer Strategienwahl des Spielers ist durch beobachtbare Attribute geprägt und der stochastische Teil unterliegt unbeobachtbaren Einflüssen.
Die Präferenz der Spieler besteht darin eine Strategie zu wählen, die eine höhere erwartete Auszahlung generiert als andere, obwohl nicht gegeben ist, dass es sich um die beste aller Strategien handelt, da Auszahlungen nur noch in Erwartungswerten existieren.McKelvey, Palfrey: Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior Vol. 10, Seite 10, „better actions are more likely to be chosen than worse actions“, 1995 Eine Annahme im Modell besteht darin, dass die Spieler ihre erwarteten Auszahlungen korrekt schätzen. Das bedeutet, dass Spieler seine Schätzung der Auszahlung aus Strategie a im Erwartungswert auch erhält unter Berücksichtigung der stochastischen Gleichgewichtswahl der anderen Spieler. Die hinzugenommene stochastische Variable im Einfluss auf die diskrete Wahl ist endogen im ModellMcKelvey, Palfrey: Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior Vol. 10, Seite 7, 1995.
Im Unterschied zum Nash-Gleichgewicht jedoch liefert das Quantenreaktionsgleichgewicht die Möglichkeit statt deterministischen Aussagen, statistische Prognosen zu treffen. Die Güte dieser statistischen Aussagen hängt signifikant von der Präzision der Beliefs der Spieler über die erwarteten Auszahlungen der unterschiedlichen Strategien ab. Erfahrungen der Spieler und Lernfähigkeit spielen eine besondere Rolle, da diese Faktoren Einfluss auf die Fähigkeit präziser Einschätzungen erwarteter Auszahlungen aus bestimmten Strategien haben. Dieses Phänomen kann auch durch den Effekt steigender Beobachtungen in der Ökonometrie erklärt werden.McKelvey, Palfrey: Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior Vol. 10, Seite 8 ff., 1995
Formale Darstellung Annahmen Die Normalform eines Spiels mit den folgenden Elementen lautet:
Spieler
Es existieren Spieler, wobei
Im Strategieraum
existiert für jeden Spieler eine Strategie
bestehend aus reinen Strategien.
Auszahlungsfunktion
Für jeden Spieler gibt es eine Auszahlungsfunktion , wo
Wahrscheinlichkeit
und , wo
und für alle
Zur Vollständigkeit sei erwähnt, dass sich alle p in einem Raum von Wahrscheinlichkeiten befinden, in dem gilt :
Alle Anderen , wobei und , sodass
also
Wahrscheinlichkeit Spieler wählt Strategie
Daher repräsentiert die Notation die Strategie, wo i die Strategie wählt und alle anderen Spieler deren Ausprägung von p adaptieren.
Nutzenfunktion
Wobei den deterministischen Teil und den stochastischen Teil des Modells darstellt.
Weiterhin kann als weißes Rauschen beschrieben werden und mit folgenden Annahmen versehen werden:
Sowohl die Verteilungsfunktion als auch die Dichtefunktion sind unbekannt. Der Erwartungswert existiert und ist null.
Im Logit-Modell jedoch ist der stochastische Teil der Nutzenfunktion extremwertverteilt, welche Annahme zu nützlichen Effekten führt. Der extremwertverteilte Fehlerterm kann als Spieler 's Fehler-Vektor definiert werden.
Die Nutzenfunktion der Spieler Abweichungen von optimalen Entscheidungen sind negativ korreliert mit verbundenen Kosten. In anderen Worten machen Spieler sehr ungern Fehler mit hohen Kosten. Formal bildet die Nutzenfunktion einen Vektor mit einem deterministischen Teil und einem stochastischen Teil mit oben genannten Annahmen. Erwartete Auszahlungen
oder genauer
wiederum sind determiniert von Beliefs über die Aktionen anderer Spieler und bilden den deterministischen Teil der Nutzenfunktion. Die Auszahlungen der Spieler werden mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Strategie gespielt wird, gewichtet.
Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien existieren unter oben genannten Annahmen nur noch in Erwartungswerten und mit Fehlerterm. Die Auszahlungen können durch den Vektor
wo,
verständlicher gemacht werden.
Der Spieler wählt Strategie j, wenn und maximal wird. Zudem kommt der Fehlerterm , sodass für jedes u für jeden Spieler eine {ij}-Antwort-Menge R existiert:
Eine Menge mit gegebenen p gibt die Region der Fehler an, die Spieler zu Strategie j führt:
was der Wahrscheinlichkeit, dass Spieler Strategie j gegeben wählt und dem Quantenreaktionsgleichgewicht entspricht.McKelvey, Palfrey: Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior Vol. 10, Seite 10, 1995
Es entsteht eine mit Wahrscheinlichkeit gewichtete Auszahlung aller Strategien unter Berücksichtigung der Ausprägung des Residuums. Es existiert eine zufällige Beste-Antwort-Funktion für alle Spiele in Normalform und somit auch ein Quantenreaktionsgleichgewicht. Die Gleichgewichts-Wahlmöglichkeiten bilden das Quantenreaktionsgleichgewicht. Im Gleichgewicht sind die Beliefs der Spieler richtig. Eine Modellierung ist durch das Logit-Gleichgewicht möglich, da unbeobachtete Störterme Abweichungen des Nutzens der Spieler zur Folge haben und als Ziel der Modellierung so klein wie möglich gehalten werden sollen.
Logit-Quantenreaktionsgleichgewicht Die gängigste Angabe eines Quantenreaktionsgleichgewichts (QRE) ist das Logit-Quantenreaktionsgleichgewicht ( Logit Quantal Response Equilibrium, kurz: LQRE):
mini|Gumbel-Verteilungsfunktion
Kerngedanke der Logit-Modellierung der Wahl der Strategie von Spielern bildet ein diskretes Entscheidungsmodell.Train, K. E : Discrete Choice Methods with Simulation, Cambridge University Press, 2009 Somit ist es möglich Aussagen bezüglich der Auswahl von alternativen Strategie der Spieler zu treffen. Spieler wählt aus dem Strategienraum ohne Berücksichtigung der Zeit , da es sich um ein einmaliges Spiel handelt. Der Spieler präferiert Strategie vor , wenn gilt: