In den mathematischen Gebieten der Gruppentheorie und linearen Algebra bezeichnet die Tits-Alternative eine Eigenschaft von Matrixgruppen, nämlich entweder fast-auflösbar zu sein oder eine nichtabelsche freie Untergruppe zu enthalten. Sie ist benannt nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits.
Tits-Alternative Es sei ein beliebiger Körper und die allgemeine lineare Gruppe, d. h. die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit Einträgen aus dem Körper .
Dann trifft für jede endlich erzeugte Untergruppe genau eine der beiden folgenden Alternativen zu: ist fast-auflösbar, d. h., es enthält eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index, oder enthält eine freie Untergruppe vom Rang .
Die beiden Möglichkeiten schließen sich gegenseitig aus.
Dieser Satz wurde von Bass und Serre vermutet und 1972 von Jacques Tits bewiesen. Ein wesentliches Ingredient im Beweis war das Ping-Pong-Lemma.
Allgemein spricht man davon, dass eine Klasse von Gruppen die Tits-Alternative erfüllt, wenn alle Gruppen aus dieser Klasse entweder fast-auflösbar sind oder eine freie Untergruppe vom Rang enthalten.
Beispiele Die Tits-Alternative gilt für zahlreiche Klassen von Gruppen, darunter die folgenden: Endlich erzeugte Untergruppen von für einen beliebigen Körper Hyperbolische GruppenGromov,M.: Hyperbolic groups. Essays in group theory, Publ., Math. Sci. Res. Inst. 8, 75-263 (1987). Abbildungsklassengruppen kompakter FlächenIvanov, N.V.: Algebraic properties of the Teichmüller modular group. Sov. Math., Dokl. 29, 288-291 (1984); McCarthy, John: A “Tits-alternative” for subgroups of surface mapping class groups. Trans. Am. Math. Soc. 291, 583-612 (1985). Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael: The Tits alternative for Out(Fn). I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms. Ann. Math. (2) 151, No. 2, 517-623 (2000). The Tits alternative for Out(Fn). II: A Kolchin type theorem. Ann. Math. (2) 161, No. 1, 1-59 (2005). Gruppen, welche frei und eigentlich auf einem CAT(0)-Würfelkomplex wirkenSageev, Michah; Wise, Daniel T.: The Tits alternative for CAT(0) cubical complexes. Bull. Lond. Math. Soc. 37, No. 5, 706-710 (2005). Gruppen polynomieller Automorphismen des Lamy, Stéphane: The Tits alternative for Aut[ℂ2]. (L’alternative de Tits pour Aut[ℂ2].) J. Algebra 239, No. 2, 413-437 (2001). Gruppen bimeromorpher Automorphismen kompakter KählermannigfaltigkeitenOguiso, Keiji: Tits alternative in hyper-Kähler manifolds. Math. Res. Lett. 13, No. 2-3, 307-316 (2006). Gruppen birationaler Abbildungen kompakter KählerflächenCantat, Serge: Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces. Ann. Math. (2) 174, No. 1, 299-340 (2011).
Gegenbeispiele Eine Gruppe, für die die Tits-Alternative nicht gilt, muss entweder eine mittelbare Gruppe, aber nicht fast-auflösbar sein oder aber nicht mittelbar sein, aber keine freie Untergruppe vom Rang enthalten. Gruppen mit einer dieser beiden Eigenschaften sind schwer zu konstruieren und gelten als exotisch. Man kennt inzwischen aber eine Reihe von Beispielen: die Thompsonsche Gruppe die Tarski-Gruppe die Burnside-Gruppen für ungerade die Grigortschuk-Gruppe. Es gibt endlich erzeugte auflösbare Gruppen, deren Automorphismengruppen nicht der Tits-Alternative genügen.Hartley, Brian: A conjecture of Bachmuth and Mochizuki on automorphisms of soluble groups. Can. J. Math. 28, 1302-1310 (1976).
Literatur Tits, J.: "Free subgroups in linear groups". Journal of Algebra 20 (2), 250–270 (1972). online (pdf)
Weblinks Tointon: The Tits Alternative, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022
Einzelnachweise
Kategorie:Lineare Algebra Kategorie:Gruppentheorie