Die Ungleichung von Cantelli ist eine elementare stochastische Ungleichung, die auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zurückgeht. Sie ist verwandt mit der tschebyschow-markowschen Ungleichung und liefert eine einseitige Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine reelle Zufallsvariable ihren Erwartungswert um eine positive Zahl übersteigt.Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 288–289
Formulierung der Ungleichung Die Cantellische Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine reelle Zufallsvariable .
besitze ein endliches zweites Moment: .Für eine reelle Zufallsvariable wird deren Erwartungswert mit bezeichnet.
Weiter gegeben sei eine reelle Zahl .
Dann besteht die Ungleichung .Für eine reelle Zufallsvariable wird deren Varianz mit bezeichnet.
Beweis der Ungleichung Der Darstellung von Klaus D. Schmidt folgend lässt sie sich folgendermaßen herleiten:
Schritt 1 Man setzt .
Dann ist zunächst
und weiter .
Schritt 2 Hat man nun eine (zunächst beliebige) reelle Zahl , so ergibt sich, insbesondere wegen der tschebyscheff-markowschen Ungleichung für höhere Momente, die folgende Ungleichungskette:
Schritt 3 Insbesondere für die reelle Zahl
gilt nach Schritt 2: .
Damit ist alles bewiesen.
Anmerkungen Die in obigem Schritt 2 auftretende reellwertige Funktion
nimmt an der genannten Stelle
ihr absolutes Minimum an. Die in der cantellischen Ungleichung genannte obere Schranke ist also in diesem Sinne optimal.
Auch für negative lässt sich eine ähnliche Abschätzung herleiten. Es gilt dann für .
Quellen
Einzelnachweise und Fußnoten
Anmerkungen
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Cantelli, Ungleichung von