Die Ungleichung von Ljapunow () ist eine elementare stochastische Ungleichung, welche auf den russischen Mathematiker Alexander Michailowitsch Ljapunow zurückgeht. Sie stellt eine Isotonieeigenschaft der absoluten Momente reeller Zufallsvariablen dar und lässt sich unter Anwendung der jensenschen Ungleichung für Erwartungswerte ableiten.
Formulierung der Ungleichung In Anschluss an die Darstellung von A. N. Širjaev bzw. Marek Fisz lässt sich die ljapunowsche Ungleichung zusammengefasst angeben wie folgt:A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 204Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 100–101
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine reelle Zufallsvariable . Dann gilt für je zwei reelle Zahlen und mit stets die Ungleichung . Insbesondere hat man stets die Ungleichungskette .
Andere Darstellung Für die ljapunowsche Ungleichung gibt es auch die folgende allgemeinere Darstellung:J. V. Uspensky: Introduction to Mathematical Probability. 1937, S. 265
Für eine reelle Zufallsvariable eines Wahrscheinlichkeitsraums . und für nichtnegative reelle Zahlen mit gilt stets die Ungleichung .
In der Funktionalanalysis gibt es noch eine weitere Darstellung, die vom wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund losgelöst ist:Funktionalanalysis von Dirk Werner, Springer Verlag, ISBN 978-3-662-55406-7 Seien mit und sowie .
Dann gilt und insbesondere
( ).
Zu der ersten Darstellung existieren auch noch weitere äquivalente Versionen.M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 174Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics. 1966, S. 255
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Ljapunow, Ungleichung von