Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).
Pell Folge/Zahlen Die Folge ist rekursiv definiert durch:
Das bedeutet in Worten: für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.
Die ersten Zahlen der Folge lauten (wenn man mit zu zählen beginnt): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, … ()
Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge mit und interpretieren:
Silberner Schnitt
Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:
Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge.
Herleitung des Zahlenwertes
Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen:
Mit folgt:
Mit
folgt weiter: . Damit ergibt sich die quadratische Gleichung
mit den beiden Lösungen und .
Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:
Geschlossene Form der Pell-Folge
Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:
und .
Seien und reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen
und
die Rekursionsformeln
und
.
Deren Linearkombination erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.
Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten: und .
Eingesetzt in ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
und
mit den Lösungen und
Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:
Erzeugende Funktion der Pell-Folge
Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:
Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius .
Herleitung der Funktion
Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius . Für gilt daher mit :
Reihenentwicklungen Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.
Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:
Hierbei ist λ*(x) die elliptische Lambdafunktion und K(x) ist das vollständige elliptische Integral erster Art.
Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:
Pell-Primzahlen Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten: 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, … () Für diese Pell-Primzahlen ist der Index von der folgende: 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, … () Beispiel 1: Es ist und . Somit ist eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl führt. Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen: Wenn eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).Comments zu OEIS A096650
Pell Zahlen 2. Art / Companion Pell-Folge Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.
Die Folge ist rekursiv definiert durch:
Das bedeutet in Worten: für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.
Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, … ()
Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge mit und interpretieren:
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Folge ganzer Zahlen Kategorie:Primzahl