Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.
Definition und Notation
Ausführlich
Eine strikte 2-Kategorie bringt folgende Daten mit: eine Klasse von 0-Morphismen , für je zwei 0-Morphismen eine Ansammlung von 1-Morphismen , für je zwei 0-Morphismen und 1-Morphismen eine Klasse von 2-Morphismen , für je drei 0-Morphismen eine Kompositionsoperation für 1-Morphismen , für je zwei 0-Morphismen und 1-Morphismen eine vertikale Kompositionsoperation , für je drei 0-Morphismen und 1-Morphismen und eine horizontale Kompositionsoperation , für jeden 0-Morphismus einen ausgezeichneten 1-Morphismus , für je zwei 0-Morphismen und jeden 1-Morphismus einen ausgezeichneten 2-Morphismus .
Wir schreiben , um zu deklarieren, dass ein 1-Morphismus von nach , also Element von ist, und , um zu deklarieren, dass ein 2-Morphismus von nach , also Element von ist.
Diese Daten gehorchen folgenden Axiomen: für alle 1-Morphismen , für alle 1-Morphismen , für alle 2-Morphismen , für alle , für alle , für alle , für alle .
Per Anreicherung Eine strikte 2-Kategorie ist eine -angereicherte Kategorie. Das heißt, eine strikte 2-Kategorie bringt folgende Daten mit: eine Klasse von 0-Morphismen , für je zwei 0-Morphismen eine Kategorie , für jeden 0-Morphismus einen Funktor , für je drei 0-Morphismen einen Funktor , und diese gehorchen folgenden Axiomen für alle : , , .
Bezug zur ausführlichen Definition Die Objekte eines sind die 1-Morphismen in . Die Pfeile eines sind die 2-Morphismen in .
Die Wirkung der Funktoren auf Objekte ergibt die Komposition von 1-Morphismen. Die Kategorienstruktur der ergibt die vertikale Komposition von 2-Morphismen. Die Wirkung der Funktoren auf Pfeile ergibt die horizontale Komposition von 2-Morphismen.
Notation Häufig wird anstelle des infix- für die Komposition von 1-Morphismen und die horizontale Komposition von 2-Morphismen einfach Juxtaposition verwendet, natürlicherweise mit stärkerer Bindung als das infix- für die vertikale Komposition: . Des Weiteren schreibt man die Identität auf dem 1-Morphismus häufig auch als , und die Identität auf dem 0-Morphismus häufig auch als .
Begriffsübertragung Diverse Begriffsbildungen über Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen kann man in jede 2-Kategorie übertragen.
Beispiel: der Begriff der Adjunktion von Funktoren: Es sei eine beliebige 2-Kategorie, und 0-Morphismen in , und . Dann heißt rechtsadjungiert zu und linksadjungiert zu (notiert ), wenn es 2-Morphismen und in gibt mit und . In kürzerer Form: , wenn es und gibt mit und .
Beispiele Relationen zwischen Mengen bilden eine strikte 2-Kategorie : ist die Klasse aller Mengen, ist die Klasse der Relationen von nach , Elemente von mit sind "Zeugen" für , wobei auf den jeweiligen definiert ist durch , die Komposition von 1-Morphismen ist die Komposition von Relationen, die vertikale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Transitivität der jeweiligen , die horizontale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Monotonie der Kompositionsoperation von Relationen bzgl. in beiden Argumenten, fasst man Funktionen in üblicher Weise als spezielle Relationen auf, dann sind in dieser 2-Kategorie Funktionen genau die linksadjungierten, also jene 1-Morphismen zu denen es ein einen rechtsadjungierten 1-Morphismus gibt. Sei die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch
für alle . Sei die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch
für alle . Sei die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch
für alle .
Literatur
Weblinks 2-category (nlab)
Kategorie:Kategorientheorie