Die Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf die beiden Mathematiker Giuseppe Ottaviani und Anatoli Skorokhod zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von stochastisch unabhängigen reellen Zufallsvariablen und stellt ein nützliches Hilfsmittel für Beweise im Umfeld des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar.Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 107–113
Formulierung der Ungleichung Der Darstellung von Heinz Bauer folgend lässt sich die Ungleichung angeben wie folgt:
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und darauf endlich viele unabhängige Zufallsvariablen
Sei hierbei für
gesetzt.
Dann ist für jeden Index und für zwei reelle Zahlen und die Ungleichung
Mit wird die reelle Betragsfunktion bezeichnet.
erfüllt.
Folgerungen: Ein Satz von Lévy und weitere Korollare Mit der Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod lassen sich der folgende Satz des französischen Mathematikers Paul Lévy herleiten und einige Korollare herleiten.
Der lévysche Satz besagt: Für jede unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen folgt aus der stochastischen Konvergenz der Reihe die fast sichere Konvergenz dieser Reihe.
Daraus erhält man folgendes Korollar: Ist eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen mit (1) (2) so ist die Reihe fast sicher konvergent.
Aus diesem Korollar gewinnt man dann unter Anwendung des kroneckerschen Lemmas unmittelbar das kolmogoroffsche Kriterium zum Starken Gesetz der großen Zahlen:Das kolmogoroffsche Kriterium wird oft auch als Kolmogoroffs Erstes Gesetz der großen Zahlen bezeichnet. Vgl. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 251! Ist eine unabhängige Folge von integrierbaren reellen Zufallsvariablen mit (*) so genügt die Folge dem Starken Gesetz der großen Zahlen.
Anmerkungen Die Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod (und auch Abwandlungen derselben) verbinden einige Autoren nur mit dem Namen von Giuseppe Ottaviani und bezeichnen diese als Ungleichung von Ottaviani bzw. als ottavianische Ungleichung (). Vielfach wird dabei auch allein der Fall behandelt.J. Hoffmann-Jørgensen: Probability with a View toward Statistics. 1994, S. 472–473Oleg Klesov: Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. 2014, S. 30–31A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 491 In dem Hochschultext von Peter Gänssler und Winfried Stute erscheint die Ungleichung (in einer anderen und sogar etwas allgemeineren Fassung) als Skorokhod-Ungleichung.P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 101 Die obige Darstellung der Ungleichung, welche unabhängige reelle Zufallsvariablen zugrunde legt, lässt sich in entsprechender Weise auch (etwa) für unabhängige borelmessbare Zufallsvariablen mit Werten in einem separablen Banachraum formulieren. Dabei tritt an die Stelle der obigen Betragsfunktion die Norm des Banachraums.Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. 1991, S. 151–152
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Monographien
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Ottaviani-Skorokhod, Ungleichung von