Die Brunn-Minkowski-Ungleichung bzw. der Satz von Brunn und Minkowski, benannt nach den beiden Mathematikern Hermann Brunn und Hermann Minkowski, ist ein klassischer Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Konvexgeometrie. Die Ungleichung setzt das Lebesgue-Maß der Minkowski-Summe zweier kompakter Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums in Relation zum Lebesgue-Maß dieser beiden Teilmengen. Sie hat zahlreiche Anwendungen und zieht insbesondere die isoperimetrische Ungleichung nach sich.Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities. 1988, S. 136 ff, S. 146H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. 1957, S. 187 ffKurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 248 ffVitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. 1986, S. 134 ff, S. 146Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis: … 2013, S. 87 ffFrederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 196–197Herbert Federer: Geometric Measure Theory. 1969, S. 277 ff
Darstellung der Ungleichung Die Ungleichung besagt zusammengefasst Folgendes: (1) Bildet man im mit dem Lebesgue-Maß für zwei nichtleere kompakte Teilmengen die Menge aller aus zwei Elementen von bzw. bildbaren Summen, so gilt für die dadurch gegebene Minkowski-Summe
die Ungleichung . (2) Sind darüber hinaus und sogar konvexe Körper, so gilt für jede reelle Zahl mit die Ungleichung .
Erläuterungen und Anmerkungen (a) Für zwei nichtleere kompakte Teilmengen ist auch die Minkowski-Summe stets eine kompakte Teilmenge des und insbesondere Lebesgue-messbar.
(b) Für eine nichtleere kompakten Teilmenge und eine beliebige reelle Zahl ist die Menge der mit multiplizierten Elemente von ebenfalls stets eine kompakte Teilmenge des und insbesondere Lebesgue-messbar.
(c) Sieht man bei (1) von der Kompaktheit der beiden Teilmengen ab und setzt lediglich voraus, dass beide Lebesgue-messbar sein mögen, so ist im Allgemeinen nicht einmal gewährleistet, dass ihre Minkowski-Summe eine Lebesgue-messbare Teilmenge des darstellt. Allerdings gilt, wenn man statt des Lebesgue-Maßes das äußere Lebesgue-Maß zugrunde legt, die obige Ungleichung (1) in entsprechender Weise. Es gilt sogar für beliebige nichtleere Teilmengen immer die Ungleichung .
Literatur
MR1898210
Einzelnachweise
Brunn-Minkowski Brunn-Minkowski Kategorie:Hermann Minkowski als Namensgeber