mini|hochkant=1.5|Ring-Zyklide mit Krümmungslinien (Kreise) Eine Dupinsche Zyklide ist in der Geometrie eine nach dem französischen Mathematiker Charles Dupin benannte Fläche mit besonderen geometrischen Eigenschaften. Die hervorragendste Eigenschaft ist: (KL) Eine Dupinsche Zyklide wird von zwei sich senkrecht schneidenden Scharen von Kreisen überdeckt. Jeder dieser Kreise ist eine Krümmungslinie. Die einfachsten Beispiele sind die Rotationstori und weitere torusartige Flächen (s. Bild).
Dupinsche Zykliden wurden nicht nur von Dupin, sondern auch von A. Cayley und J. C. Maxwell intensiv untersucht.
Heute finden Dupinsche Zykliden insbesondere im CAD-Bereich Interesse, da Zyklidenteile durch rationale Funktionen beschrieben werden können und zur Modellierung glatter Übergänge zwischen Kanalflächen (Zylinder, Kegel, Tori, …) geeignet sind.
Definition einer Dupinschen Zyklide Dupin untersuchte Flächen, deren Krümmungslinien Kreise sind, und gab 1822 in seinem Buch Applications de Geometrie die folgende Definition einer Klasse von solchen Flächen: Die einhüllende Fläche einer Kugelschar, die 3 vorgegebene Kugeln in stetiger Weise berühren, heißt (Dupinsche) Zyklide. In der Literatur findet man weitere äquivalente Definitionen und Verallgemeinerungen.V. Chandru, D. Dutta, C. M. Hoffmann: On the geometry of Dupin cyclides. In: The Visual Computer. 1989 (5), S. 277–290.
Parameterdarstellung, implizite Darstellung (KF) Eine Dupinsche Zyklide lässt sich auf zwei Arten als einhüllende Fläche einer einparametrigen Kugelschar beschreiben, d. h. sie ist eine Kanalfläche und lässt sich mit zwei verschiedenen Leitkurven erzeugen. Die Leitkurvenpaare sind Fokalkegelschnitte und bestehen entweder aus einer Ellipse und einer Hyperbel oder zwei Parabeln, wobei die Scheitel der Ellipse die Brennpunkte der Hyperbel und umgekehrt bzw. der Scheitel der einen Parabel der Brennpunkt der anderen und umgekehrt sind. Im ersten Fall nennt man die Zyklide elliptisch im zweiten Fall parabolisch. In beiden Fällen liegen die Kegelschnitte in zueinander senkrechten Ebenen. Die Hyperbel kann in Ausnahmefällen (wenn die Ellipse ein Kreis ist) zu einer Gerade entarten. Die Zyklide ist dann ein Rotationstorus.
Das Leitkurvenpaar ist jeweils die zu zwei Kurven entartete Brennfläche der Zyklide.
Elliptische Zykliden Eine elliptische Zyklide lässt sich durch folgende Parameterdarstellung beschreiben (siehe Abschnitt Zyklide als Kanalfläche): mini|hochkant=1.4|Bedeutung der Formparameter . Hier ist: und ist der Radius der erzeugenden Kugel in den Nebenscheiteln der Ellipse (s. Zyklide als Kanalfläche) Die beiden senkrechten Kreise mit den Mittelpunkten haben die Radien .
Die Zahlen mit sind die große bzw. kleine Halbachse einer Ellipse in der x-y-Ebene und deren lineare Exzentrizität:
Die Hyperbel
in der x-z-Ebene ist der zur Ellipse gehörige Fokalkegelschnitt, d. h. die Brennpunkte der Ellipse sind die Scheitel der Hyperbel und die Scheitel der Ellipse sind die Brennpunkte der Hyperbel. Die beiden Kegelschnitte bilden die zu zwei Kurven ausgearteten Brennflächen (hier: Brennlinien) der Zyklide.
Die Zahl ist ein Formparameter der Zyklide. Bei einer Ringzyklide ist ein mittlerer Radius der die Zyklide als Kanalfläche erzeugenden Kugeln. Bei einem Rotationstorus ist der Radius des rotierenden Kreises.
Für bzw. erhält man gerade die Krümmungslinien (Kreise) der Fläche.
Die jeweilige implizite Darstellung ist:
Falls ist, wird , d. h. die Ellipse wird zum Kreis und die Hyperbel artet zur Gerade aus. Die zugehörigen Zykliden sind dann Rotationstori.
(ellipt.) Dupinsche Zykliden für Formparameter a, b, c, d 150px150px150px150px150px150pxsymm. HornzyklideHornzyklideEinhornzyklideRingzyklideRingzyklideSpindelzyklide
Intuitiver als die Formparameter sind die Schnittpunkte der Zyklide mit der x-Achse. Siehe hierzu den Abschnitt Zyklide durch 4 Punkte auf der x-Achse.
Parabolische Zykliden Eine parabolische Zyklide lässt sich durch die folgende Parameterdarstellung beschreiben (siehe Abschnitt Zyklide als Kanalfläche): mini|hochkant=1.2|Parabolische Zyklide mit Leitparabeln
Dabei bestimmt die Form der beiden Parabeln (Fokalkegelschnitte):
(im Bild rot) und (blau).
(Zur geometrischen Bedeutung von : siehe Parabel). Der Formparameter legt den Durchmesser des horizontalen Loches in Vielfachen von fest. Für haben beide Löcher denselben Durchmesser. Im Bild ist .
Eine zugehörige implizite Darstellung ist
parabolische Dupinsche Zykliden für Designparameter p=1, k200px200px200pxRingzyklideEinhornzyklideZweihornzyklide
Bemerkung: Die Lücken bei der Darstellung der Kreise entstehen durch die notwendige Beschränkung der Parameter .
Zyklide als Kanalfläche mini|hochkant=1|Dupinsche Zyklide als Kanalfläche (Einhüllende einer Kugelschar) In dem Buch Analytische Geometrie gibt Wilhelm Blaschke die folgenden zwei KonstruktionenW. Blaschke: Analytische Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 303486812X, S. 115 einer Zyklide als Kanalfläche an: Ellipse als Leitkurve In der x-y-Ebene ist die Ellipse mit der Gleichung
mit als Leitkurve gegeben. Sie hat die Parameterdarstellung
Dabei ist die große und die kleine Halbachse der Ellipse. Im Folgenden ist die lineare Exzentrizität der Ellipse, d. h. es ist . Die Radien der erzeugenden Kugeln sind
ist ein Formparameter. Man kann ihn als einen mittleren Kugelradius ansehen. Im Fall ist die Ellipse ein Kreis und die Zyklide ein Rotationstorus mit kleinem Radius .
Im Bild ist .
mini|hochkant=1|Eigenschaft der Brennpunkte der Leitellipse. Die Ellipse ist die Äquidistanzkurve des blauen und lila Kreises. Eigenschaft von Maxwell Die folgende einfache Beziehung zwischen dem jeweiligen Kugelmittelpunkt (Ellipsenpunkt) und dem zugehörigen Kugelradius geht auf Maxwellerwähnt in W. Boehm: On Cyclides in Geometric Modeling. Computer Aided Geometric Design 7, 1990, S. 243–255. zurück:
Die Summe aus Kugelradius und Abstand des Kugelmittelpunktes (Ellipsenpunkt) von einem der beiden, aber fest gewählten, Brennpunkte der Leitellipse ist konstant. Nachweis Die Brennpunkte der obigen Ellipse sind . Wählt man aus und berechnet den Abstand , so ergibt sich . Mit dem obigen Kugelradius ist .
Wählt man den anderen Brennpunkt aus, ergibt sich
D. h.: In der x-y-Ebene sind die Einhüllenden der Kugelkreise zwei Kreise mit den Brennpunkten der Leitellipse als Mittelpunkte und den Radien (siehe Bild).
Zyklide durch 4 Punkte auf der x-Achse mini|hochkant=1.4|Zur Bestimmung der Formparameter a,b,c,d nach Vorgabe von mini|hochkant=1.2| Oben: Ringzyklide mit Mitte: Hornzyklide mit Unten: Spindelzyklide mit Die Maxwell-Eigenschaft erlaubt es, eine zur x-z-Ebene und x-y-Ebene symmetrische Ring-Zyklide durch die Vorgabe ihrer Schnittpunkte auf der x-Achse festzulegen:
Gegeben: Vier Punkte auf der x-Achse (s. Bild).
Gesucht: Mittelpunkt , Halbachsen , lineare Exzentrizität und Brennpunkte der Leitellipse sowie der mittlere Radius der Ringzyklide.
Aus den Maxwell-Eigenschaften ergibt sich zunächst
und daraus
Die Lage der Brennpunkte (auf der x-Achse) ist und damit
Der Mittelpunkt der Fokal-Kegelschnitte liegt bei
Bei Verwendung der obigen Parameterdarstellung muss man den hier verschobenen Mittelpunkt berücksichtigen!
Bedeutung der Anordnung von
(H) Vertauscht man im Beispiel , entsteht eine Hornzyklide. (S) Vertauscht man , ergibt sich eine Spindelzyklide. (E) Setzt man entsteht eine Einhornzyklide. (R) Setzt man , erhält man eine sich im Nullpunkt berührende Ringzyklide.
Parallelflächen
mini|hochkant=1.2|Parallelflächen einer Zyklide mit Parameter Vergrößert oder verkleinert man den Parameter so, dass keine neuen Typen (Hornzykliden …) entstehen, so erhält man (analog zu Parallelkurven) parallele Flächen, die wieder Zykliden sind (siehe Bild).
Hyperbel als Leitkurve
In dem Buch wird auch die zweite Erzeugung der Zyklide als Kanalfläche mit den Mittelpunkten auf der zur obigen Ellipse gehörigen Fokalhyperbel beschrieben. Die Gleichung der Hyperbel ist mini|hochkant=2|Zyklide mit zwei Berührkugeln, deren Mittelpunkte auf der Fokalhyperbel liegen
In diesem Fall berühren die Kugeln die Zyklide von außen in der zweiten Schar von Kreisen. Zu jedem Ast der Hyperbel gehört eine Teilschar von Kugeln. Die Kugeln der einen Schar umschließen die Zyklide (im Bild: lila Kugel). Die andere Schar wird von der Zyklide von außen berührt (im Bild: blau).
Die Hyperbel hat die Parameterdarstellung
Die Radien der zugehörigen Kugeln sind
Im Torusfall () artet die Hyperbel in die Torusachse aus.
mini|hochkant=1|Maxwell-Eigenschaft für Hyperbel. Der Hyperbelast ist auch die Äquidistanzkurve der beiden grauen Kreise. Maxwell-Eigenschaft für Hyperbel
Die Brennpunkte der Hyperbel sind . Für den Abstand des Hyperbelpunktes vom Brennpunkt ergibt sich und mit dem Kugelradius schließlich . Analog ergibt sich . Für einen Punkt auf dem zweiten Ast erhält man:
D. h.: In der x-z-Ebene hüllen die Kreise (Schnitte der Kugeln mit der x-z-Ebene) mit den Mittelpunkten und Radien die beiden Kreise (im Bild grau) mit Mittelpunkte und Radien ein. mini|hochkant=1.2|Punktkonstruktion
Herleitung der Parameterdarstellung Elliptische Zyklide Die Ellipse und die Hyperbel sind die zu einem Kurvenpaar ausgearteten Brennflächen (hier: Brennlinien) der durch sie und dem Parameter eindeutig bestimmten Zyklide. Ist ein beliebiges Punktepaar der Ellipse und Hyperbel, so gilt (wegen der Eigenschaft von Brennflächen): die Gerade ist eine Normale der Zyklide und der zugehörige Zyklidenpunkt teilt die Strecke im Verhältnis der zugehörigen Kugelradien .
Mit Parameterdarstellung und Kugelradius der Ellipse Hyperbel (Zur etwas ungewohnten, aber hier geeigneteren, Parameterdarstellung der Hyperbel siehe: Hyperbel.)
erhält man den zugehörigen Zyklidenpunkt (siehe Bild):
Es ergibt sich die oben angegebene Parameterdarstellung einer elliptischen Zyklide.
Parametrisiert man die Zyklide so, wie es in dem Artikel für Kanalflächen beschrieben wird, so besteht i. a. nur eine Schar von Parameterkurven aus Kreisen.
Zur Beschreibung der Kugelradien Um Fallunterscheidungen zu vermeiden, wird hier nur der Fall betrachtet. Die anderen Fälle verlaufen analog:
Da die Krümmungszentren sind, muss gelten (s. Bild)s. Buch von W. Blaschke
Es ist also und mit einer beliebigen Zahl .
Die Parameterlinien sind Kreise Falls ist, gibt es einen senkrechten Kreiskegel, der die Ellipse enthält und den Punkt als Spitze besitzt (s. den Artikel Fokalkegelschnitt). Die Kugel mit als Mittelpunkt und als Radius schneidet aus dem Kegel einen Kreis, die Parameterlinie , aus. Analog ergibt sich, dass ein Kreis ist.
Die Kreise sind Krümmungslinien Hierzu beweist man: (KO) Sind E,H zwei Punkte der Ellipse bzw. Hyperbel, so schneiden sich die zugehörigen Kreiskegel mit Spitze E bzw. H durch die Hyperbel bzw. Ellipse (s. vorigen Absatz) entlang der gemeinsamen Gerade EH senkrecht.
Da die Gerade EH in dem auf ihr liegenden Zyklidenpunkt P die Normale ist, schneiden sich in P die beiden Kegel und die Zyklide paarweise orthogonal. Nach dem Satz von Dupin über dreifache Orthogonalsysteme folgt: Die Schnittkurven (Kreise) mit der Zyklide sind Krümmungslinien.
Die Aussage (KO) beweist man, indem man zeigt, dass die Normalebenen der Kegel durch die Gerade EH aufeinander senkrecht stehen. Diese Ebenen gehen durch EH und die jeweiligen Kegelachsen (Tangente der Ellipse in E bzw. Hyperbel in H, siehe Fokalkegelschnitt).
Ein anderer Beweis: Jeder Kreis ist Berührkreis der Zyklide mit einer Kugel. D. h.: alle Normalen entlang eines Kreises gehen durch den Kugelmittelpunkt. Die Normalen bilden also eine Torse (hier Kegel), was zur Folge hatBlaschke, S. 61: Der Kreis ist eine Krümmungslinie.
Parabolische Zyklide mini|hochkant=1.2|Erzeugung einer parabolischen Zyklide als Kanalfläche Die Herleitung der Parameterdarstellung für den parabolischen Fall verläuft analog: