Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.
Definition Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum . Eine σ-Algebra heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle gilt, dass entweder oder ist.
Elementare Beispiele Die triviale σ-Algebra ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer und gefordert wird. Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also und , so dass und . Dann ist die σ-Algebra sowohl -trivial als auch -trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich und , die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.
Anwendungsbeispiele Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind: Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist. Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.
Eigenschaften Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ist eine P-triviale σ-Algebra von jedem anderen Mengensystem unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.
Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert , denn und sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem Lp-Ergodensatz.
Literatur
Kategorie:Σ-Algebra Kategorie:Stochastik