250px|mini|Die 15 bisher bekannten Typen der ebenen Parkettierung mit kongruenten, konvexen Fünfecken. Die Parkettierungen sind spaltenweise nach der gängigen Nummerierung angeordnet. Die linke Spalte enthält 1 bis 5 usw. Die Parkettierung mit Fünfecken (auch Kachelung/Pflasterung/Flächenschluss mit Pentagonen) ist eine lückenlose, überlappungsfreie geometrische und monohedrale Parkettierung, bei der alle Elemente (Kacheln) kongruent (deckungsgleich) zueinander und von der Form eines und desselben Fünfecks sind.
Der Fall der ebenen Parkettierung mit kongruenten (deckungsgleichen), konvexen Fünfecken ist deshalb besonders interessant, weil die in Frage kommenden Formen (Typen) seit einem Jahrhundert untersucht werden, diese nicht abschließend klassifiziert sind und 5 der derzeit bekannten 15 verschiedenen Typen von der Amateur-Mathematikerin Marjorie Rice und einem Informatiker gefunden wurden, die durch Artikel von Martin Gardner in der populärwissenschaftlichen Zeitschrift Scientific American zu ihren Nachforschungen inspiriert worden waren.
Monohedrale Parkettierung mit n-Ecken (n = 3, n = 4, n ≥ 6) Im Gegensatz zu den Fünfecken ist die Frage der monohedralen Parkettierung der Ebene mit n-Gonen für n≠5 vollständig geklärt.
Alle Formen von DreieckenDreiecke mit geraden Linien sind immer konvex. und konvexen Vierecken „parkettieren die Ebene“ (englisch „tile the plane“).
Bezüglich der Polygone mit einer Eckenzahl bewies Reinhardt bereits 1918,Karl Reinhardt: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt am Main, Robert Noske, Borna-Leipzig (1918). Bitte beachten: Auf S. 77 befindet sich ein Fehler. Die Winkelsumme γ + δ für die ersten beiden Parkettierungstypen muss π sein, und nicht 2π (wie angegeben). dass es einerseits genau drei Typen von konvexen Sechsecken (Hexagonen) gibt, die parkettieren können, und dass es andererseits unmöglich ist, die Ebene mit einem konvexen Siebeneck (Heptagon), Achteck (Oktagon) oder einem höheren Polygon zu parkettieren.
Monohedrale Parkettierung der Ebene mit Fünfecken Im Gegensatz zu den Parkettierungen mit anderen konvexen Polygonen ist die Parkettierung der Ebene mit Fünfecken noch nicht abschließend geklärt. Siehe auch Abschnitt über die Arbeiten von Michaël Rao.
Bezeichnungen Bei der monohedralen Parkettierung fordert man Kongruenz unter den parkettierenden Kacheln, jedoch mit der Protokachel nur Ähnlichkeit. Abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade des Kacheltyps kann es unähnliche Protokacheln geben, die zum selben Kacheltyp gehören. Der Kacheltyp ist durch ein System von Beziehungen zwischen Winkeln einerseits und Seitenverhältnissen andererseits charakterisiert. Zu einem Kacheltyp kann es Parkettierungen geben, die sich in wesentlichen Eigenschaften unterscheiden.
Ein kongruentes Fünfeck ist durch sieben Bestimmungsstücke (7 unabhängige Parameter) bestimmt, ein ähnliches durch sechs. Bei ähnlichen Fünfecken sind Längenverhältnisse (von sich entsprechenden Seiten und Diagonalen) und sich entsprechende Winkel gleich. Hat man vier (Eck-)Winkel, dann ist der fünfte immer durch die Winkelsumme des Fünfecks von 540° bestimmt.
Im Folgenden werden die (Größen der) Winkel mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, D, E bezeichnet, so dass A+B+C+D+E = 540° ist. Die Orientierung ist standardmäßig die „mathematische“, also entgegen dem Uhrzeigersinn (obwohl es viele Typen gibt mit Parkettierungen, in denen beide Orientierungen vorkommen). (Die Längen von) Seiten, die in diesem Umlaufsinn auf eine Ecke zulaufen, werden üblicherweise mit dem entsprechenden kleinen Buchstaben bezeichnet, so dass bspw. b die Länge der Seite AB ist.
Die Geschlossenheit des Polygonzugs BCDEAB erfordert: c cos(B) – d cos(B+C) + e cos(B+C+D) + a cos(–A) = b und c sin(B) – d sin(B+C) + e sin(B+C+D) + a sin(–A) = 0 .
Geschichtliches Nach der Dissertation von Reinhardt, der 1918 die ersten 5 Fünfeck-Typen beschrieb, vergingen 50 Jahre, bis das Thema ab den späten 1960er bis in die Mitte der 1980er Jahre wieder aufgenommen und um neun Typen erweitert wurde. Danach vergingen 30 Jahre, bis mit einem eigens zu diesem Zweck erstellten Computerprogramm 2015 ein weiterer Fünfeck-Typ, Typ 15, gefunden wurde. Man kann die konvexen Fünfecke, die geeignet sind, eine Ebene in kongruenter Weise zu parkettieren, in bisher 15 disjunkte Klassen (Typen) einteilen.Eyder Peralta: With Discovery, 3 Scientists Chip Away At An Unsolvable Math Problem. Bei: NPR.org. 14. August 2015, abgerufen am 21. August 2015. Es ist derzeit aber nicht geklärt, ob es noch mehr solcher Typen von Fünfecken gibt. mini|100px|Regelmäßiges Fünfeck Dennoch sind Aussagen zu speziellen Aspekten gemacht worden: Die Parkettierung einer euklidischen Ebene mit regelmäßigen Fünfecken ist unmöglich, da bei einem regelmäßigen Fünfeck der Innenwinkel 108° kein ganzzahliger Teiler des Vollwinkels 360° ist. Hirschhorn und Hunt publizierten 1985 Zusammenhänge für Winkelsummen, die essenzielle Bedingungen für die Parkettierung mit Fünfecken sind: Ein gleichseitiges konvexes Fünfeck parkettiert dann und nur dann, wenn es zwei Winkel besitzt, deren Summe 180° ist, oder wenn es das einzigartige gleichseitige konvexe Fünfeck ist, welches (in den Bezeichnungen des Typs 7 in der nachfolgenden Tabelle) die Winkel A≈99,929°, B≈89,264°, C≈144,561°, D≈70,878° und E≈135,368°Die Geschlossenheit des gleichseitigen Polygonzugs erfordert: cos(B) – cos(B+C) + cos(B+C+D) + cos(A) = 1 und sin(B) – sin(B+C) + sin(B+C+D) – sin(A) = 0. Daraus ergibt sich nach den Einsetzungen zunächst und schließlich für x4 – 10x2 + 2x + 19 = 0. besitzt, wobei B+2E = 2C+D = 2A+B+D = 360°.M. D. Hirschhorn und D. C. Hunt: Equilateral convex pentagons which tile the plane. In: Journal of Combinatorial Theory. Series A, Band 39 (1), Mai 1985, S. 1–18. Olga Bagina konnte zeigen, dass es nur 8 konvexe Kante-an-Kante-Parkettierungstypen (edge-to-edge tiling) geben kann,Olga Bagina: Мозаики из выпуклых пятиугольников. (Tilings of the plane with convex pentagons.) Vestnik (russ.) (2011), Band 4 (48), S. 63–73, .Olga Bagina: Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons. In: Journal of Combinatorial Theory. 2004, Band 105 (2), S. 221–232. ein Resultat, das mit Referenz auf Bagina, aber in unabhängiger Weise von Teruhisa SugimotoTeruhisa Sugimoto: Forma, Band 27 (1) (2012), S. 93–103. bestätigt wurde.
Im Folgenden werden die 15 bekannten Typen monohedraler Parkettierung der Ebene mit Fünfecken ungefähr in ihrer Entdeckungsreihenfolge resp. mit aufsteigender Typennummer vorgestellt.
Reinhardt (1918) + Die fünf konvexen Fünfeck-Typen von K. Reinhardt (1918)Erklärungen zu der Tabelle: Die erste Zeile bezeichnet den Typ des Fünfecks („Kacheltyp“). Die zweite Zeile bezeichnet die ebene kristallographische Gruppe (oder Ornamentgruppe) einer Parkettierung der Ebene mit diesem Typ. Es kann aber weitere Parkettierungen geben, die hiervon abweichen. Die dritte Zeile zeigt eine Parkettierung mit diesem Fünfeck-Typ. Die vierte Zeile charakterisiert ein Fünfeck des zu definierenden Typs durch lineare Gleichungen von Seitenverhältnissen resp. von Winkeln: Alle Fünfecke, die die darunter stehenden Bedingungen erfüllen, gehören zum Typ. Die maximal sechs Bedingungen definieren keine Kongruenz, sondern höchstens Ähnlichkeit. Sind es weniger als sechs unabhängige Bedingungen, dann gehören auch unähnliche Fünfecke zum selben Typ. Die fünfte Zeile zeigt ein aus mehreren Fünfecken des Kacheltyps zusammengesetztes Kachelmuster, aus dem sich eine der gezeigten Parkettierungen ausschließlich durch Translationen herstellen lässt. Die letzte Zeile nennt ggf. den/die Entdecker des Typs.12345p2 (2222)pgg (22×)p3 (333)p4 (442)p6 (632)120px120px120px120px120px120pxB+C=180°A+D+E=360°Diese zweite Beziehung ist wegen der Gesamtwinkelsumme von 540° eine unmittelbare Folge der ersten. Im Ergebnis lässt dieser Typ fünf Freiheitsgrade, bspw. drei Winkel und zwei Seitenverhältnisse. 120pxc=eB+D=180°120pxa=b, d=c+eA=C=D=120°120pxb=c, d=eB=D=90°120pxa=b, d=eA=60°, D=120°120px2er-Kachelmuster120px4er-Kachelmuster120px3er-Kachelmuster120px4er-Kachelmuster120px6er-Kachelmuster Im Jahr 1918 beschäftigte sich Karl Reinhardt, Assistent von David Hilbert, in seiner Dissertation mit der „Zerlegung einer Ebene in gleicheckige, einer Gattung angehörige Normalpolygone“, wobei er besonders Fünf- und Sechsecke behandelte.
Kershner (1968) und James (1975) + Konvexe Fünfeck-Typenvon R. B. Kershner (1968) und R. E. James (1975)67810p2 (2222)pgg (22×)p2 (2222)150px150px150px150px150pxa=d=e, b=cB+D=180°, 2B=E100pxb=c=d=eB+2E=2C+D=360°100pxb=c=d=e2B+C=D+2E=360°120pxa=b=c+eA=90°, B+E=180°B+2C=360°Dann ist E+2D=E+540°-2C=E+540°+B-360°=360°. Also sind die Bedingungen invariant gegen Spiegelung an der Ad-Achse.150px4er-Kachelmuster150px8er-Kachelmuster150px8er-Kachelmuster150px6er-KachelmusterRichard B. KershnerRichard E. James Der Mathematiker Richard B. Kershner fand 1968 drei weitere konvexe Fünfecke (Typen 6 bis 8), mit denen Parkettierung möglich ist, und kam zu der Überzeugung, dass mit den nun bekannten acht Typen die Liste von ebenen, parkettierungsfähigen Fünfecken komplett sei.Richard Kershner: On paving the plane. In: American Mathematical Monthly. Band 75, S. 839–844.
Richard E. James III, damals Informatiker bei der Control Data Corporation, hatte von Kershners Entdeckung in Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American gelesen und daraufhin 1975 ein weiteres Fünfeck (Typ 10) gefunden,M. Gardner: On Tessellating The Plane With Convex Polygon Tiles. In: Scientific American. Band 233 (1), S. 112–117, Munn & Company (1975). wodurch er Kershners Aussage der kompletten Liste widerlegte. Durch den Ansatz von James konnte auch im Nachhinein erklärt werden, welches Parkettierungssystem Kershner übersehen hatte.Doris Schattschneider: Tiling the Plane with Congruent Pentagons. In: Mathematics Magazine. Band 51 (1), S. 29–44 (1978).
Rice (1976/77) + Die vier konvexen Fünfeck-Typen von Marjorie Rice (1976/77)9111213pgg (22×)150px150px150px150px80pxb=c=d=e2A+C=D+2E=360°150px2a+c=d=eA=90°, 2B+C=360°C+E=180°150px2a=d=c+eA=90°, 2B+C=360°C+E=180°150pxd=2a=2eB=E=90°, 2A+D=360°150px8er-Kachelmuster150px8er-Kachelmuster150px8er-Kachelmuster150px8er-Kachelmuster
Angeregt durch Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American im Juli und Dezember 1975, begann Marjorie Rice, Hausfrau und Autodidaktin in Bezug auf mathematische Geometrie, sich mit Parkettierung mit Fünfecken zu beschäftigen. Sie entwickelte ihre eigene Notation für Fünfecke und fand auf diese Weise eine weitere, bisher unbekannte Fünfeckform (Typ 9), die sie Gardner zuschickte.Gardner leitete die Arbeit von Rice weiter an die Mathematik-Professorin Doris Schattschneider, die mit Rice in Kontakt trat und in den folgenden Jahren Rices Ergebnisse publizierte.Doris Schattschneider: A new pentagon tiler. In: Mathematics Magazine. Band 58 (5), S. 308 (1985). Diese neue Fünfeck-Parkettierung zierte auch die Vorderseite des Mathematics Magazine.
In den Jahren 1976/77 entdeckte Rice mit ihrer Methode insgesamt vier neue Pentagon-Typen. Sie setzte Fünfeck-Typen auch künstlerisch um, indem sie Escher-artige Bildelemente auf diese Fünfecke übertrug: Beispiele sind Typ 1,Roses von Marjorie Rice. Typ 2Fishes von Marjorie Rice. und Typ 13.Butterflies von Marjorie Rice.
Der Eingangsbereich des Hauptgebäudes der Mathematical Association of America in Washington, D.C. wurde in den 1990er Jahren mit einem der von Rice gefundenen Fünfecke gefliest.Ivars Peterson: Tiling with Pentagons. In: The Mathematical Tourist. 5. Juni 2010, abgerufen am 14. September 2015.
Stein (1985) und Mann / McLoud / Von Derau (2015)