Satz von Steinhaus

Der Satz von Steinhaus ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Maßtheorie, der auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Hugo Steinhaus im ersten Band der Fundamenta Mathematicae (1920) zurückgeht. Er behandelt eine grundlegende topologische Eigenschaft der Lebesgue-messbaren Teilmengen des -dimensionalen reellen Koordinatenraums .Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 67–68

Formulierung des Satzes Der Satz von Steinhaus besagt: Bildet man für eine Lebesgue-messbare Teilmenge mit Lebesgue-Maß die Menge aller aus zwei Elementen von bildbaren Differenzen, so ist die dadurch gegebene Menge stets eine Umgebung der . Mit anderen Worten: Unter den genannten Bedingungen gibt es immer eine offene Vollkugel .

Folgerungen: Zwei Sätze von Sierpiński Auf den Satz von Steinhaus können zwei Sätze des polnischen Mathematikers Wacław Sierpiński über Hamel-Basen von als Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen zurückgeführt werden. Sie lassen sich angeben wie folgt:Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 99–100 Gegeben sei eine Hamel-Basis des -Vektorraums . Dann gilt: (1) Ist Lebesgue-messbar in , so ist eine lebesguesche Nullmenge, also vom Lebesgue-Maß . (2) Ist eine nichtleere und höchstens abzählbare Teilmenge von und ist die -lineare Hülle von , so ist eine nicht Lebesgue-messbare Teilmenge von .

Zum Beweis der beiden Folgerungen An Jürgen Elstrodt anschließend lässt sich ein Beweis für (1) wie folgt führen: Sofern eine solche Hamel-Basis als Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß vorausgesetzt wird, ergibt sich ein Widerspruch. Da nämlich eine solche Hamel-Basis nicht die leere Menge ist, lässt sich ein auswählen und damit die reelle Nullfolge bilden. Nun kommt zum Tragen, dass dann jedoch nach dem Satz von Steinhaus eine Nullumgebung sein muss, weswegen fast alle Glieder der Nullfolge darin enthalten sein müssen. Also gibt es auch eine natürliche Zahl und dazu zwei verschiedene , für die

gilt. Das aber bedeutet, dass auch

gilt. Damit hat man eine nichttriviale Darstellung der als Linearkombination von Elementen aus mit Koeffizienten aus , was unvereinbar mit der Voraussetzung ist, dass eine Hamel-Basis von über sein soll. Daher kann eine solche Lebesgue-messbare Hamel-Basis einzig und allein eine lebesguesche Nullmenge sein.

Der Beweis von (2) geht ähnlich und beruht auf der Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes und der Tatsache, dass stets gilt.

Satz von Steinhaus (allgemeinere Fassung) Es gibt eine allgemeinere Fassung des steinhausschen Satzes, die gemäß der Darstellung in der bekannten Monographie des polnischen Mathematikers Marek Kuczma (1935–1991) folgendes besagt:

Gegeben seien im irgend zwei Teilmengen und dazu die Menge aller aus je zwei von deren Elementen bildbaren Summen. Für diese sollen abgeschlossene Teilmengen existieren mit und .

Dann enthält die Menge stets innere Punkte.

Anmerkungen Laut Jürgen Elstrodt bekräftigt der Satz die intuitive Vorstellung, jede Lebesgue-messbare Teilmenge des sei näherungsweise einer offenen Menge gleich. Hier gilt sogar, dass die Lebesgue-messbaren Teilmengen des die folgende charakteristische Eigenschaft aufweisen: Zu einer vorgegebenen Schranke gibt es im stets eine offene Menge sowie eine abgeschlossene Menge mit und . Wie man der von Karl Stromberg in den Proceedings of the American Mathematical Society von 1972 gelieferten Note entnimmt, gibt es zu dem Satz eine Verallgemeinerung auf lokalkompakte Gruppen mit haarschem Maß, welche ebenfalls Satz von Steinhaus () genannt wird und deren Formulierung auf den französischen Mathematiker André Weil zurückgeht. Zu den Hamel-Basen von über ist noch weit mehr bekannt. So lässt sich etwa zeigen, dass eine solche Hamel-Basis niemals eine Borel-Menge von sein kann. Mit dem steinhausschen Satz verwandt ist der Satz von Piccard, der wie jener die Frage der Existenz innerer Punkte in gewissen additiven Punktmengen behandelt.

Quellen

Einzelnachweise

Kategorie:Maßtheorie Steinhaus