Ein vorhersagbarer Prozess, auch vorhersehbarer Prozess, previsibler Prozess oder prognostizierbarer Prozess genannt, ist ein spezieller stochastischer Prozess, bei dem es möglich ist, einen kurzen Zeitschritt in die Zukunft zu schauen. Dies bedeutet nicht, dass Ausgänge schon bekannt sind, sondern lediglich, dass Informationen über die Verteilung gewonnen werden können. Vorhersagbare Prozesse spielen beispielsweise eine Rolle bei der Doob-Zerlegung, die einen beliebigen integrierbaren stochastischen Prozess in diskreter Zeit in zwei Teilprozesse zerlegt: ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess. Außerdem finden sie Anwendung bei der Definition des diskreten stochastischen Integrals und des stochastischen Integrals. Ein vorhersagbarer Prozess heißt auch voraussagbarer Prozess.
Definition Diskreter Fall Gegeben sei eine Filtrierung und ein stochastischer Prozess . Falls konstant ist und
für alle gilt, so heißt der Prozess vorhersagbar, previsibel oder prognostizierbar.
Stetiger Fall Im zeitstetigen Fall definiert man die vorhersagbare σ-Algebra auf als
(siehe adaptierter stochastischer Prozess, Linksstetiger Prozess). Ein Prozess heißt dann vorhersagbar, wenn eine -messbare Abbildung ist.
Interpretation des diskreten Falls Die σ-Algebra modelliert die Informationen, die zum Zeitpunkt n-1 zur Verfügung stehen. Betrachtet man nun die bedingte Erwartung der Zufallsvariable unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Informationen aus bereits zur Verfügung stehen, so ist .
Dies folgt daraus, dass -messbar ist und demnach . Hat man demnach die Informationen aus dem (n-1)-ten Schritt zur Verfügung, lässt sich schon alles über die Ausgänge im n-ten Schritt sagen.
Wichtige Sätze Die folgenden Sätze heißen Sektionssatz () und Projektionssatz (). Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante.
Für beide Sätze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum voraus, der die üblichen Bedingungen erfüllt. Es gilt per Konvention . Vorhersagbarer Sektionssatz Für eine Stoppzeit definieren wir ihren Graphen , weiter definieren wir die kanonische Projektion .
Sei eine vorhersagbare Menge. Für jedes existiert eine vorhersagbare Stoppzeit , so dass für den Graphen gilt.
Vorhersagbarer Projektionssatz Sei ein messbarer Prozess, der positiv oder beschränkt ist. Dann existiert ein eindeutiger (bis auf Ununterscheidbarkeit) vorhersagbarer Prozess , so dass fast sicher für jede vorhersagbare Stoppzeit .
Der Prozess heißt vorhersagbare Projektion und wird auch mit notiert.
Beispiel Jeder Prozess versehen mit der Filtrierung der vollständigen Information ist vorhersagbar. Einfache Beispiele von zeitstetigen vorhersagbaren Prozessen sind die elementaren vorhersagbaren stochastischen Prozesse.
Weblinks
Literatur
Kategorie:Stochastischer Prozess Belege