Die Tschebyscheff-Ungleichung (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) ist eine Ungleichung der Mathematik.Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Wiesbaden, Vieweg+Teubner, Verlag 2003, ISBN 3-322-96828-6, S. 99.Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, S. 54.

Aussage

Sie besagt, dass für monoton gleich geordnete -Tupel reeller Zahlen

und

,

die Beziehung

.

gilt. Sind und hingegen entgegengesetzt geordnet, also beispielsweise

und

,

so gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung:

.

Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von und notwendig sind.

Beweise Beweis aus Umordnungs-Ungleichung Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich aus der Umordnungs-Ungleichung ableiten. Multipliziert man die rechte Seite aus, so ergibt sich

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun jede dieser Summen (im Fall gleich geordneter Zahlen und ) kleiner oder gleich , insgesamt erhält man also genau die gewünschte Beziehung .

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen und braucht die Umordnungs-Ungleichung nur in die umgekehrte Richtung angewendet werden.

Beweis mit vollständiger Induktion Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch mit vollständiger Induktion und Anwendung der Umordnungs-Ungleichung für den einfachsten Fall mit zwei Summanden beweisen. Der Induktionsanfang ist einfach zu führen. Im Induktionsschritt betrachtet man nun . Wendet man nun auf den mittleren Summanden die Umordnungs-Ungleichung für zwei Summanden und auf den letzten Summanden die Induktionsvoraussetzung an, so ergibt sich (im Fall gleich geordneter Zahlen und )

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen und ist der Beweis analog. Beweis aus Gleichungs-Formulierung Ein anderer Beweis ergibt sich direkt aus der Gleichung

bzw. allgemeiner mit Gewichten . Es gilt nämlich . Mit Umbenennung der Indizes ergibt sich , insgesamt also genau die Behauptung: .

Verallgemeinerung Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch in der Form

schreiben. In dieser Form lässt sie sich auch auf mehr als zwei gleich geordnete n-Tupel verallgemeinern, wobei die betrachteten Zahlen allerdings größer oder gleich Null sein müssen: Für

mit

gilt

Der Beweis kann beispielsweise mit vollständiger Induktion nach erfolgen, da ja für bezüglich fallend geordnete nichtnegative Zahlen auch deren Produkte

fallend geordnet und nichtnegativ sind.

Varianten Sind , auf gleichsinnig monoton und ist eine Gewichtsfunktion, d. h. , dann ist .

Zum Beweis integriert man die nichtnegative Funktion ausmultipliziert nach und jeweils von 0 bis 1. Dies lässt sich weiter verallgemeinern:

Sind auf gleichsinnig monoton und nichtnegativ, dann ist

.

Und sind auf gleichsinnig monoton und nichtnegativ und ist eine Gewichtsfunktion, dann ist

.

Dies ergibt sich, wenn man durch substituiert.

Einzelnachweise

Kategorie:Addition Kategorie:Ungleichung Kategorie:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow