mini|hochkant=1.8|Schwerpunktsatz von Leibniz für das Dreieck

Der Satz von Leibniz ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher innerhalb der ebenen Geometrie angesiedelt ist und Gottfried Wilhelm Leibniz zugerechnet wird. Er gibt eine allgemeine Formel an, welche insbesondere erlaubt, in der euklidischen Ebene für einen gegebenen Punkt und ein gegebenes Dreieck die Abstände des Punktes von den Eckpunkten in Beziehung zu setzen zu den Abständen der Eckpunkte vom Schwerpunkt.

Formulierung des Satzes Der Satz besagt folgendes:Koecher, Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 163 und 3. Auflage, 2007, S. 180

In der reellen Koordinatenebene seien vier Punkte gegeben. Dabei habe der Punkt in Bezug auf die Punkte die affine Darstellung mit  . Es sei ein weiterer beliebiger Punkt der reellen Koordinatenebene. Dann gilt die Identität: (1) Ist insbesondere der Schwerpunkt des von den Punkten gebildeten Dreiecks , ist also mit , so gilt sogar (2)  .

Hinweis zur Herleitung des Satzes Der Satz gestattet eine einfache rein rechnerische Herleitung unter Benutzung des reellen Skalarprodukts, indem mehrfach die binomische Identitätsgleichung

angewandt wird.Den Beweis dazu findet man im Beweisarchiv.

Folgerung Der obige zweite Teil des leibnizschen Satzes zieht unmittelbar die folgende Charakterisierung des Schwerpunkts eines Dreiecks nach sich, welche dem italienischen Mathematiker Giulio Carlo Fagnano zugerechnet und unter dem Stichwort Fagnanoscher Schwerpunktsatz genannt wird:Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 142 Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist derjenige Punkt der Ebene, in welchem die Summe der Quadrate der Abstände zu den drei Eckpunkten

den kleinsten Wert annimmt.

Anmerkung In Heinrich Dörries Mathematische Miniaturen wird eine analoge Gleichung über den Schwerpunkt eines Tetraeders formuliert. Im dortigen Register werden die beiden Gleichungen von Dörrie als Leibniz' Schwerpunktsätze bezeichnet.Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen, 1979, S. 273–275, S. 523

Quellen

MR1089881

Einzelnachweise und Fußnoten

Leibniz, Satz von (Euklidische Geometrie)