Der Satz von Thurston-Bonahon ist ein häufig verwendeter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der 3-dimensionalen Topologie, benannt nach William Thurston und Francis Bonahon. Er präzisiert die Dichotomie zwischen geometrisch endlichen und geometrisch unendlichen Flächen in hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.
Formulierung des Satzes Es sei eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit von endlichem Volumen, und sei eine inkompressible, -inkompressible Fläche.
Dann ist entweder eine virtuelle Faser oder quasifuchssch.
Erläuterungen: heißt geometrisch endlich, wenn das Bild von unter eine geometrisch endliche Gruppe ist; dies ist im Fall von Flächengruppen äquivalent dazu, dass eine quasifuchssche Gruppe ist. heißt virtuelle Faser, wenn es eine endliche Überlagerung sowie ein Faserbündel mit Faser gibt. Der Satz von Thurston-Bonahon besagt insbesondere, dass jede geometrisch unendliche Fläche in einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens eine virtuelle Faser sein muss.
Geschichte Der Satz von Thurston-Bonahon ergibt sich aus einer Kombination von Sätzen in Thurstons „Lecture Notes“William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lecture Notes. Princeton University, Princeton NJ 1976–1979, (). und Bonahons HabilitationsschriftFrancis Bonahon: Bouts des variétés hyperboliques de dimension 3. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 124, Nr. 1, 1986, S. 71–158, . mit älteren Ergebnissen von Albert Marden.Albert Marden: The geometry of finitely generated Kleinian groups. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 99, Nr. 3, 1974, S. 383–762, . Er wird weder bei Thurston noch bei Bonahon explizit erwähnt.
Der Satz wird in zahlreichen mathematischen Arbeiten zur Topologie von Flächen in 3-Mannigfaltigkeiten verwendet, explizite Formulierungen des Satzes finden sich zuerst bei Cooper-Long-ReidTheorem 1.1 in: Daryl Cooper, Darren D. Long, Alan W. Reid: Bundles and finite foliations. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 118, Nr. 2, 1994, S. 255–283, . und in allgemeinerer Form bei Canary.Corollary 8.3 in: Richard D. Canary: A covering theorem for hyperbolic 3-manifolds and its applications. In: Topology. Bd. 35, Nr. 3, 1996, S. 751–778, (Digitalisat (PDF; 2,5 MB)).
Einzelnachweise
Kategorie:Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten Kategorie:Theorie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten Thurston-Bonahon, Satz von