Der Satz von Palm-Chintschin der Stochastik besagt, dass sich die Überlagerung (Superposition) einer hinreichend großen Anzahl von nicht notwendigerweise poissonschen Erneuerungsprozessen asymptotisch einem Poisson-Prozess annähert, wenn die Ereignisse in den einzelnen Prozessen relativ selten auftreten. Der Satz beruht auf Arbeiten von Conny Palm aus dem Jahr 1943Conny Palm: Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr, Ericsson Techniks 44, 1–189 (1943) und Aleksander Chintschin aus dem Jahr 1955Aleksander Chintschin: Matematicheskie metody teorii massovogo obsluzhivaniia, Trudy Matematicheskogo Instituta Steklov, Akad. Nauk, U.S.S.R., Vol. 49 (1955). Er findet Anwendung in der Warteschlangentheorie und Zuverlässigkeitsanalyse, zum Beispiel bei der Modellierung von Ankunftsprozessen von Kunden oder seltenen Ereignissen in der Versicherungsmathematik.
Aussage Seien für , unabhängige Erneuerungsprozesse und
die Superposition dieser Prozesse. Weiter bezeichne die Zeit zwischen der ersten und zweiten Erneuerung in Prozess sowie . Unter den Annahmen
Für alle hinreichend große gelte: . Gegeben , für jedes und hinreichend große gelte: für alle .
strebt dann die Überlagerung der Zählprozesse für gegen gegen einen Poisson-Prozess mit Rate . Daniel P. Heyman, Matthew J. Sobel: Stochastic Models in Operations Research: Stochastic Processes and Operating Characteristics, Courier Corporation, 2003, ISBN 978-0-48643-259-5, S. 156–161
Erweiterungen
Es gibt zahlreiche Erweiterungen, z. B. den Satz von Grigelionis,Alessandro Birolini: Reliability Theory, 7. Auflage, Springer, Heidelberg, 2013, Kapitel A7.8.3 der die Annahmen verallgemeinert und als Grenzprozess einen nicht-homogenen Poisson-Prozess ableitet. In der Software-Zuverlässigkeit gibt es zahlreiche Erweiterungen für Software-Zuverlässigkeitswachstumsmodelle, klassisch z. B. den Satz von Littlewood,Littlewood, B.: A reliability model for systems with Markov structure, Applied Statistics 24 (1975), 172–177. bei dem der Ausfallprozess für komplexe Software-Systeme, deren interne Struktur durch Markow-Ketten beschrieben werden kann, ebenfalls wieder gegen einen Poisson-Prozess strebt.
Einzelnachweise
Palm-Chintschin, Satz von