Im mathematischen Gebiet der Graphentheorie sind Ramanujan-Graphen Graphen mit besonderen Regularitäts- und Stabilitätseigenschaften, die deshalb in verschiedenen Gebieten der Informatik und Mathematik von Interesse sind.
Der Graph ist nach S. Ramanujan benannt, wobei der Name von Alexander Lubotzky, Ralph Phillips und Peter Sarnak stammt, die 1988 Ramanujan-Graphen einführten (sie benutzten ein Resultat von Ramanujan).
Definition Ein zusammenhängender -regulärer Graph ist ein Ramanujan-Graph, wenn alle Eigenwerte der Adjazenzmatrix entweder oder erfüllen.
Äquivalent lassen sich Ramanujan-Graphen dadurch charakterisieren, dass das Analog der Riemann-Vermutung für die Iharasche Zetafunktion gilt: alle Polstellen im Bereich liegen auf der Geraden .
Ramanujan-Graphen als optimale Expander Expander-Graphen sind Graphen mit sehr guten Stabilitätseigenschaften (d. h., sie lassen sich nicht durch Entfernen relativ weniger Kanten in mehrere Zusammenhangskomponenten zerlegen), die deshalb in Mathematik und Informatik von großem Interesse sind. Eine Möglichkeit, die Expansitivität eines -regulären Graphen zu messen, ist durch den zweitgrößten Eigenwert der Adjazenzmatrix. (Der größte Eigenwert ist für einen -regulären Graphen immer .)
Für einen -regulären Graphen mit Ecken gilt die Ungleichung
Andererseits gilt für Ramanujan-Graphen , diese haben für große also annähernd optimale Expander-Eigenschaft.
Konstruktionen Es gibt verschiedene Konstruktionen von Ramanujan-Graphen. Für Primzahlen benutzten Lubotzky-Philips-SarnakAlexander Lubotzky, Ralph Phillips, Peter Sarnak: Ramanujan graphs. Combinatorica 8 (1988), no. 3, 261–277. .Kapitel 7.3 in Lubotzky, op.cit. die Ramanujan-Vermutung um zu beweisen, dass gewisse Quotienten des p-adischen symmetrischen Raums -reguläre Ramanujan-Graphen sind. Marcus-Spielman-SrivastavaAdam Marcus, Daniel Spielman, Nikhil Srivastava: Interlacing families I: Bipartite Ramanujan graphs of all degrees. Foundations of Computer Science (FOCS), 2013 IEEE 54th Annual Symposium. online (PDF; 196 kB). konstruieren -reguläre Ramanujan-Graphen für beliebige .
Beispiele Der Petersen-Graph ist ein Ramanujan-Graph.
Literatur Alexander Lubotzky: Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. With an appendix by Jonathan D. Rogawski. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-5075-X
Einzelnachweise
Kategorie:Regulärer Graph Kategorie:Srinivasa Ramanujan