Die Signatur ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine wichtige Invariante von glatten Mannigfaltigkeiten. Die Signatur ist nur in Dimensionen nicht trivial, da ihre Definition sich auf die Schnittform sowie selbstduale und antiselbstduale Differentialformen stüzt, welche ebenfalls nur in Dimensionen existieren. In diesen Fällen ist die Signatur eine zentrale Information zur Beschreibung dieser zusätzlich möglichen Strukturen. Ihre Berechnung ist möglich durch den Signatursatz von Hirzebruch.
Die Signatur ist insbesondere von grundlegender Wichtigkeit beim Studium von 4-Mannigfaltigkeiten, ihrem einfachsten Fall. Etwa taucht die Signatur in der Noether-Formel für fast komplexe Strukturen auf oder den Dimensionen des Yang-Mills-Modulraumes und Seiberg-Witten-Modulraumes, welche wichtige Informationen über diese kodieren.
Definition
Für eine glatte -Mannigfaltigkeit kann die mittlere Betti-Zahl aufgeteilt werden in die selbstduale Betti-Zahl und die antiselbstduale Betti-Zahl mit: Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (1.1.16) Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (1.1.1) Dabei sind die jeweils unter der Schnittform positiv und negativ definiten UnterräumeDonaldson & Kronheimer 90, nach Gleichung (4.3.12) auf S. 147 sowie die jeweils unter dem Hodge-Stern-Operator selbstdualen und antiselbstdualen harmonischen Differentialformen. Durch die Hodge-Zerlegung sind die obigen Ausdrücke identisch.
Bei der Signatur wird nun die Differenz statt der Summe betrachtet, wodurch also auch negative Werte möglich sind:Freed & Uhlenbeck 84, S. 22Donaldson & Kronheimer 90, nach Gleichung (1.1.1) auf S. 3
Umgekehrt lassen sich also aus der mittleren Betti-Zahl und der Signatur wieder die selbstdualen und antiselbstdualen Betti-Zahlen bestimmen:
Dadurch kann die Signatur auch als Diskrepanz zwischen diesen verstanden werden.
Eigenschaften
Die Signatur wandelt disjunkte Vereinigungen in Summen und kartesische Produkte in Produkte um. Für -Mannigfaltigkeiten und gilt:
Dabei deutet die hintere Formel auf die naheliegende Idee hin, die Signatur für alle anderen Mannigfaltigkeiten zu erweitern, indem die Signatur eines geeigneten Produktes genommen wird. Etwa kann für eine Fläche die Signatur der 4-Mannigfaltigkeit betrachtet werden. Das funktioniert jedoch nicht, da bei solchen Zerlegungen die Signatur unter immer verschwindet, was mithilfe des Satzes von Künneth und des unten formulierten Signatursatzes von Hirzebruch folgt. Zwei kompakte orientierbare 4-Mannigfaltigkeiten sind genau dann orientiert bordant, wenn ihre Signaturen identisch sind. Anders ausgedrückt ist die Signatur eine Bordismusinvariante.Freed & Uhlenbeck 84; Beweis von Theorem 2.25, S. 47; Kapitel 8, S. 141 Aus der Kombination der beiden vorherigen Eigenschaften folgt, dass die Signatur ein Gruppenisomorphismus ist. Signatursatz von Hirzebruch: Signatur und L-Geschlecht einer orientierbaren Mannigfaltigkeit sind identisch, wobei letzteres eine spezielle Kombination aus Pontrjagin-Zahlen ist, also Cup-Produkten von Pontrjagin-Klassen in der Kronecker-Paarung mit der Fundamentalklasse. In vier und acht Dimensionen gelten etwa:Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (1.1.3)
Dabei ist die vordere Formel generell wichtig für das Studium von 4-Mannigfaltigkeiten und die hintere Formel wurde von John Milnor im Jahr 1954 bei der Konstruktion der Milnor-Sphären verwendet, den historisch ersten Beispielen von exotischen Sphären.
Beispiele
Da die Sphären verschwindende mittlere Kohomologiegruppe haben, verschwindet also auch ihre Signatur . Alternativ folgt das daraus, dass Sphären nullbordant sind, also sich als Rand einer orientierbaren Mannigfaltigkeit darstellen lassen. Zwar verschwindet bei Tori deren mittlere Kohomologiegruppe nicht, doch auch diese lassen sich als Rand einer orientierbaren Mannigfaltigkeit darstellen und haben daher Signatur . Aufgrund der gleichen Signatur sind Sphären und Tori insbesondere orientiert bordant zueinander. Statt einem nicht zusammenhängenden Bordismus kombiniert aus den beiden Nullbordismen kann auch ein zusammenhängender Bordismus konstruiert werden: Seien zwei Einbettungen (siehe Einbettungssatz von Whitney), sodass entweder die Sphäre komplett im Torus oder der Torus komplett in der Sphäre liegt. Möglich ist die Ineinanderschachtelung aufgrund der gerade beschriebenen Nullbordismen und deren Kompaktheit. In beiden Fällen beschreibt der -dimensionale Zwischenraum nun einen zusammenhängenden Bordismus.
Ein wichtiges nicht triviales Beispiel ist der zweite komplexe projektive Raum , welcher eine zentrale Rolle im Donaldson-Theorem spielt:Donaldson & Kronheimer 90, Untersektion 1.1.2
Oft wird der Raum mit nicht diagonalisierbarer Schnittform als Beispiel verwendet, für welches das Donaldson-Theorem nicht anwendbar ist. Jedoch ist dieser im gleichen Gebiet trotzdem wichtig. Aufgrund der Aufteilung in ein Produkt von glatten Mannigfaltigkeiten mit trivialer Signatur oder alternativ der Darstellung als Rand einer orientierbaren Mannigfaltigkeit gilt:
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie