Äußeres Tensorprodukt

Das äußere Tensorprodukt ist in der linearen Algebra ein spezielles Produkt zweier Dyaden, die aus zwei mit dem dyadischen Produkt verknüpften Vektoren bestehen. Beim äußeren Tensorprodukt werden Kreuzprodukte der Vektoren in den Dyaden gebildet, so dass dieses Tensorprodukt auf drei dimensionale Räume beschränkt ist.

Mit dem äußeren Tensorprodukt lassen sich die Hauptinvarianten, der Kofaktor und die Adjunkte eines Tensors elegant ausdrücken. Bei der Berechnung der Inhalte verformter Flächen wird das Kreuzprodukt von mit einem Tensor transformierten Vektoren benötigt, was sich mit dem äußeren Tensorprodukt vereinfachen lässt.

Die Bezeichnung „äußeres Tensorprodukt“ leitet sich aus dem Zweitnamen „äußeres Produkt“ des Kreuzproduktes von Vektoren her. Gelegentlich wird auch das dyadische Produkt von Tensoren als „äußeres Tensorprodukt“ bezeichnet. Die Benennung hier folgt W. Ehlers.

Definition Mit vier Vektoren Datei:Vec_a.svg, Datei:Vec_b.svg, Datei:Vec_g.svg, Datei:Vec_h.svg ∈ 𝕍3 aus dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍3 ist das äußere Tensorprodukt „#“ mit dem dyadischen „⊗“ und dem Kreuzprodukt „×“ definiert durch:

(Datei:Vec_a.svg ⊗ Datei:Vec_g.svg) # (Datei:Vec_b.svg ⊗ Datei:Vec_h.svg) :＝ (Datei:Vec_a.svg × Datei:Vec_b.svg) ⊗ (Datei:Vec_g.svg × Datei:Vec_h.svg)

Das Symbol „#“ wird hier benutzt, weil es aus zwei Kreuzen besteht und im äußeren Tensorprodukt das Kreuzprodukt „×“ doppelt vorkommt.

Mit Vektorraumbasen Datei:Vec_g.svg1,2,3, Datei:Vec_h.svg1,2,3, Datei:Vec_u.svg1,2,3 und Datei:Vec_v.svg1,2,3 kann jeder Tensor zweiter Stufe A als Summe

A ＝ Aij Datei:Vec_g.svgi ⊗ Datei:Vec_u.svgj ＝ Ãij Datei:Vec_h.svgi ⊗ Datei:Vec_v.svgj

mit zu bestimmenden Komponenten Aij bzw. Ãij dargestellt werden. In dieser Gleichung wie auch in den folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über alle, in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier i und j, von eins bis drei zu summieren ist. Das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren zweiter Stufe lautet in dieser Darstellung:

(Aij Datei:Vec_g.svgi ⊗ Datei:Vec_u.svgj) # (Bkl Datei:Vec_h.svgk ⊗ Datei:Vec_v.svgl) ＝ Aij Bkl (Datei:Vec_g.svgi × Datei:Vec_h.svgk) ⊗ (Datei:Vec_u.svgj × Datei:Vec_v.svgl)

Mit den Spaltenvektoren Datei:Vec_a.svgi :＝ A · êi bezüglich der Standardbasis ê1,2,3 ist

A ＝ Datei:Vec_a.svgi ⊗ êi ＝ (Datei:Vec_a.svg1 Datei:Vec_a.svg2 Datei:Vec_a.svg3),

was für andere Tensoren entsprechend geschrieben werden kann. Dann lautet das äußere Tensorprodukt

| A # B ||＝ |(Datei:Vec_a.svgi ⊗ êi) # (Datei:Vec_b.svgj ⊗ êj) ＝ (Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ (êi × êj) |- | rowspan="3"| ||＝ | (Datei:Vec_a.svg2 × Datei:Vec_b.svg3 − Datei:Vec_a.svg3 × Datei:Vec_b.svg2) ⊗ ê1 + (Datei:Vec_a.svg3 × Datei:Vec_b.svg1 − Datei:Vec_a.svg1 × Datei:Vec_b.svg3) ⊗ ê2

| + (Datei:Vec_a.svg1 × Datei:Vec_b.svg2 − Datei:Vec_a.svg2 × Datei:Vec_b.svg1) ⊗ ê3 |- | ＝ | (Datei:Vec_a.svg2 × Datei:Vec_b.svg3 − Datei:Vec_a.svg3 × Datei:Vec_b.svg2 Datei:Vec_a.svg3 × Datei:Vec_b.svg1 − Datei:Vec_a.svg1 × Datei:Vec_b.svg3 Datei:Vec_a.svg1 × Datei:Vec_b.svg2 − Datei:Vec_a.svg2 × Datei:Vec_b.svg1)

Koordinatenfreie Darstellung Ohne Referenz auf Dyaden kann das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren A und B symbolisch mit dem Einheitstensor 1 geschrieben werden als

A # B ＝ [Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + [A · B + B · A − Sp(A) B − Sp(B) A]⊤

Darin bildet Sp die Spur ihres Arguments.

Denn wenn diese Tensoren mittels A ＝ Aij êi ⊗ êj bezüglich der Standardbasis ê1,2,3 notiert werden, dann gilt mit dem Permutationssymbol ϵijk:

| A # B | ＝ (Aij êi ⊗ êj) # (Bkl êk ⊗ êl) ＝ Aij Bkl (êi × êk) ⊗ (êj × êl)

| ＝ ϵikm ϵjln Aij Bkl êm ⊗ ên

denn êp × êq ＝ ϵpqr êr. Das Produkt zweier Permutationssymbole hängt über die Determinante

{| style="border-collapse:collapse;text-align: center;" | rowspan="3"| ϵikm ϵjln | rowspan="3"| ＝ | style="border-left: 1px solid #000000;"| δij | δil | style="border-right: 1px solid #000000;"| δin | style="width:120px;"| |- | style="border-left: 1px solid #000000;"| δkj | δkl | style="border-right: 1px solid #000000;"|δkn |- | style="border-left: 1px solid #000000;"| δmj | δml | style="border-right: 1px solid #000000;"| δmn |- | || ＝ | style="text-align:left;" colspan="4"| δij δkl δmn + δil δkn δmj + δin δkj δml

| style="text-align:left;" colspan="4"| − δij δkn δml − δil δkj δmn − δin δkl δmj

mit dem Kronecker-Delta δij zusammen. Daraus ergibt sich:

| A # B || ＝ | (δij δkl δmn + δil δkn δmj + δin δkj δml

| − δij δkn δml − δil δkj δmn − δin δkl δmj) Aij Bkl êm ⊗ ên |- | || ＝ | Aii Bkk êm ⊗ êm + Aij Bki êj ⊗ êk + Aij Bjl êl ⊗ êi

| − Aii Bkl êl ⊗ êk − Aij Bji êm ⊗ êm − Aij Bkk êj ⊗ êi |- | || ＝ | Sp(A) Sp(B) 1 + A⊤ · B⊤ + B⊤ · A⊤

| − Sp(A) B⊤ − Sp(A · B) 1 − Sp(B) A⊤

was der eingangs gegebenen Identität entspricht.

Eigenschaften Aus der koordinatenfreien Darstellung lässt sich ablesen:

1 # 1 ＝ 2 1 A # 1 ＝ Sp(A) 1 − A⊤ A # A ＝ [Sp(A)2 − Sp(A · A)] 1 + 2 [A · A − Sp(A) A]⊤ x ∈ ℝ → (x A) # B ＝ A # (x B) ＝ x A # B (A # B)⊤ ＝ (A⊤) # (B⊤)

Assoziativität Das äußere Tensorprodukt ist nicht assoziativ, denn meistens ist

A # (B # C) ≠ (A # B) # C

wie das Beispiel B ＝ C ＝ 1 zeigt:

| A # (1 # 1) || ＝ | A # (2 1) ＝ 2 Sp(A) 1 − 2 A⊤ |- | (A # 1) # 1 || ＝ | [Sp(A) 1 − A⊤] # 1 |- | || ＝ | 2 Sp(A) 1 − [Sp(A⊤) 1 − A] |- | || ＝ || Sp(A) 1 + A

Kommutativität Das äußere Tensorprodukt ist kommutativ:

A # B ＝ B # A

wie aus der koordinatenfreien Darstellung ablesbar ist.

Distributivgesetz Das äußere Tensorprodukt ist distributiv über der Addition und Subtraktion:

A # (B + C) ＝ A # B + A # C (A + B) # C ＝ A # C + B # C

was in der koordinatenfreien Darstellung nachweisbar ist.

Zusammenhang mit dem doppelten Kreuzprodukt von Tensoren H. Altenbach definiert das doppelte Kreuzprodukt von Dyaden als

(Datei : Vec_g.svg ⊗ Datei : Vec_a.svg) ×× (Datei : Vec_b.svg ⊗ Datei : Vec_h.svg) :＝ (Datei : Vec_a.svg × Datei : Vec_b.svg) ⊗ (Datei : Vec_g.svg × Datei : Vec_h.svg) ＝ (Datei : Vec_a.svg ⊗ Datei : Vec_g.svg) # (Datei : Vec_b.svg ⊗ Datei : Vec_h.svg)

das sich nur durch die Transposition des ersten Faktors vom äußeren Tensorprodukt unterscheidet.

Isotropie Das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren kann als Funktion dieser Tensoren aufgefasst werden:

f(A, B) :＝ A # B

Diese Funktion ist eine isotrope Tensorfunktion.

Denn mit einem beliebigen orthogonalen Tensor Q (mit Q⊤ · Q ＝ 1 und det(Q)＝±1) gilt, weil bei der Spur eines Tensorprodukts die Faktoren zyklisch vertauscht werden dürfen

| colspan="2" | f(Q · A · Q⊤, Q · B · Q⊤) ＝ … |- | ＝ | (Q · A · Q⊤) # (Q · B · Q⊤) |- | ＝ | [Sp(Q · A · Q⊤) Sp(Q · B · Q⊤) − Sp((Q · A · Q⊤) · (Q · B · Q⊤))] 1

| + (Q · A · Q⊤)⊤ · (Q · B · Q⊤)⊤ + (Q · B · Q⊤)⊤ · (Q · A · Q⊤)⊤

| − Sp(Q · A · Q⊤) (Q · B · Q⊤)⊤ − Sp(Q · B · Q⊤) (Q · A · Q⊤)⊤ |- | ＝ | Q · {[Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + A⊤ · B⊤ + B⊤ · A⊤

| − Sp(A) B⊤ − Sp(B) A⊤} · Q⊤ |- | ＝ || Q · f(A, B) · Q⊤

was eine definierende Eigenschaft von isotropen Tensorfunktionen ist.

Skalarprodukt mit einem dritten Tensor Bildung des Frobenius-Skalarproduktes „:“ des äußeren Tensorproduktes A#B mit einem dritten Tensor C liefert mit dem ersten Zwischenergebnis im Abschnitt über die #Koordinatenfreie Darstellung:

| (A # B) : C | ＝ (ϵikm ϵjln Aij Bkl êm ⊗ ên) : (Cpq êp ⊗ êq)

| ＝ ϵikm ϵjln Aij Bkl Cmn

Daraus ist die zyklische Vertauschbarkeit

(A # B) : C ＝ (B # C) : A ＝ (C # A) : B

ableitbar. Siehe auch #Spatprodukt.

Zusammenhang mit den Hauptinvarianten

Aus T # 1 ＝ Sp(T) 1 − T⊤ T # T ＝ [Sp(T)2 − Sp(T · T)] 1 + 2 [T · T − Sp(T) T]⊤

und der zyklischen Vertauschbarkeit der Faktoren im Produkt (A # B) : C, siehe #Skalarprodukt mit einem dritten Tensor, folgt:

| (T # 1) : 1 | ＝ 3 Sp(T) − Sp(T) | ＝ 2 I1(T) |- | (T # T) : 1 | ＝ (T # 1) : T ＝ Sp(T)2 − Sp(T · T) | ＝ 2 I2(T) |- | (T # T) : T | ＝ Sp(T)3 + 2 Sp(T3) − 3 Sp(T) Sp(T2) | ＝ 6 I3(T)

Die Funktionen I1,2,3 sind die drei Hauptinvarianten des Tensors T.

Berechnung des Kofaktors und der Adjunkten Der Kofaktor cof(T) ＝ det(T) T⊤−1 eines invertierbaren Tensors schreibt sich mit dem Satz von Cayley-Hamilton

cof(T) ＝ T⊤ · T⊤ − Sp(T) T⊤ + I2(T) 1

Letztere Identität gilt auch für nicht invertierbare Tensoren. Das äußere Tensorprodukt eines Tensors mit sich selbst liefert den doppelten Kofaktor, siehe #Koordinatenfreie Darstellung oder #Eigenschaften:

| T # T | ＝ | [Sp(T)2 − Sp(T · T)] | 1 + 2 [T· T − Sp(T) T]⊤ |- | || ＝ | style="text-align: center;"| 2 I2(T) | 1 + 2 [T⊤· T⊤ − Sp(T) T⊤] |- | || ＝ | colspan="2"| 2 [T⊤ · T⊤ − Sp(T) T⊤ + I2(T) 1] |- | || ＝ | 2 cof(T)

Die Adjunkte ist der transponierte Kofaktor:

adj(T) ＝ cof(T)⊤ ＝ Datei:OneHalf.svg (T # T)⊤ ＝ Datei:OneHalf.svg (T⊤) # (T⊤)

Tensorprodukt zweier äußerer Produkte Das Tensorprodukt zweier äußerer Produkte ist die Summe zweier äußerer Produkte zweier Tensorprodukte:

(A # B) · (C # D) ＝ (A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C)

Denn mit der Lagrange-Identität

(Datei:Vec_a.svg × Datei:Vec_b.svg) · (Datei:Vec_c.svg × Datei:Vec_d.svg) ＝ (Datei:Vec_a.svg · Datei:Vec_c.svg) (Datei:Vec_b.svg · Datei:Vec_d.svg) − (Datei:Vec_a.svg · Datei:Vec_d.svg) (Datei:Vec_b.svg · Datei:Vec_c.svg)

und der Darstellung der Tensoren mit ihren Spaltenvektoren wie im Abschnitt #Definition berechnet sich:

| colspan="2"| (A # B) · (C # D) ＝ … |- | ＝ | [(Datei:Vec_a.svgi ⊗ êi) # (Datei:Vec_b.svgj ⊗ êj)] · [(Datei:Vec_c.svgk ⊗ êk) # (Datei:Vec_d.svgl ⊗ êl)] |- | ＝ | [(Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ (êi × êj)] · [(Datei:Vec_c.svgk × Datei:Vec_d.svgl) ⊗ (êk × êl)] |- | ＝ | [(êi × êj) · (Datei:Vec_c.svgk × Datei:Vec_d.svgl)] (Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ (êk × êl) | Lagrange-Identität |- | ＝ | [(Datei:Vec_c.svgk · êi) (Datei:Vec_d.svgl · êj) − (Datei:Vec_d.svgl · êi) (Datei:Vec_c.svgk · êj)] (Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ (êk × êl) |- | ＝ | (Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ [(Datei:Vec_c.svgk · êi) êk × (Datei:Vec_d.svgl · êj) êl]

| − (Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ [(Datei:Vec_c.svgk · êj) êk × (Datei:Vec_d.svgl · êi) êl] |- | ＝ | [Datei:Vec_a.svgi ⊗ (Datei:Vec_c.svgk · êi) êk] # [Datei:Vec_b.svgj ⊗ (Datei:Vec_d.svgl · êj) êl]

| + (Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj) ⊗ [(Datei:Vec_d.svgl · êi) êl × (Datei:Vec_c.svgk · êj) êk]

| ＝ | [(Datei:Vec_a.svgi ⊗ êi) · (Datei:Vec_c.svgk ⊗ êk)] # [(Datei:Vec_b.svgj ⊗ êj) · (Datei:Vec_d.svgl ⊗ êl)]

| + [(Datei:Vec_a.svgi ⊗ êi) · (Datei:Vec_d.svgl ⊗ êl)] # [(Datei:Vec_b.svgj ⊗ êj) · (Datei:Vec_c.svgk ⊗ êk)] |- | ＝ | (A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C)

was zu zeigen war.

Transformationseigenschaften

Kreuzprodukt Mit Hilfe des äußeren Tensorprodukts lassen sich Tensoren aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren „ausklammern“:

(A · Datei:Vec_u.svg) × (A · Datei:Vec_v.svg) ＝ Datei:OneHalf.svg (A # A) · (Datei:Vec_u.svg × Datei:Vec_v.svg) ＝ cof(A) · (Datei:Vec_u.svg × Datei:Vec_v.svg)

Dieses Ergebnis wird bei der Berechnung der Inhalte verformter Flächen gebraucht. Es folgt aus der Identität

(A # B) · (Datei:Vec_u.svg × Datei:Vec_v.svg) ＝ (A · Datei:Vec_u.svg) × (B · Datei:Vec_v.svg) − (A · Datei:Vec_v.svg) × (B · Datei:Vec_u.svg)

im Spezialfall B ＝ A. Zum Nachweis wird die Darstellung der Tensoren mit ihren Spaltenvektoren wie im Abschnitt #Definition benutzt:

A ＝ Datei:Vec_a.svgk ⊗ êk, B ＝ Datei:Vec_b.svgk ⊗ êk, sowie Datei:Vec_u.svg ＝ uk êk, Datei:Vec_v.svg ＝ vk êk A · Datei:Vec_u.svg ＝ (Datei:Vec_a.svgi ⊗ êi) · uj êj ＝ ui Datei:Vec_a.svgi (A · Datei:Vec_u.svg) × (B · Datei:Vec_v.svg) ＝ (ui Datei:Vec_a.svgi) × (vj Datei:Vec_b.svgj) ＝ ui vj Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj (A · Datei:Vec_u.svg) × (B · Datei:Vec_v.svg) − (A · Datei:Vec_v.svg) × (B · Datei:Vec_u.svg) ＝ (ui vj − vi uj) Datei:Vec_a.svgi × Datei:Vec_b.svgj

Mit der Lagrange-Identität

ist andererseits

Äußeres Tensorprodukt

Bron en licentie